Phá đường dây hàm số

Hàm số Hàm số Hàm số Hàm Phá đường dây Hàm số

- Nắm chắc lý thuyết toán lớp 12 - Tư duy nhanh các bài toán trắc nghiệm - Phân tích sâu các lỗi sai HS thường mắc phải - Hệ thống câu hỏi đa dạng có chọn lọc - Đánh giá năng lực theo thang 4 mức độ - Extra Techniques bổ sung kinh nghiệm thực chiến đề

DÚI

TOÁN NHÓM

ANH

Nhóm toán anh Dúi

Nguyễn Thành Nhân

Phan Thành Tường

Nhóm toán anh Dúi

Nguyễn Thành Nhân

Phan Thành Tường

Nhóm toán anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ]

2 [ I can't, I can! ]

Ví dụ 1: Xét hàm số

2021 y  .

Dễ thấy, ' 0 0 y   (hoặc 0  ).

Tuy nhiên, 2021 y  là một hàm hằng (hàm không đổi trên trường số thực ).

Đồ thị I.I.1

CHỦ ĐỀ 1:

HÀM SỐ & ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

I.I. Tính đơn điệu của hàm số

A. Lý thuyết cần nắm

1. Đơn điệu là gì?

Một hàm số được gọi là đơn điệu nếu nó hoặc đồng biến hoặc nghịch biến trên K , trong đó K có thể là một khoảng (đoạn), nửa khoảng (nửa đoạn).

2. Mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Điều kiện cần để một hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số  y f x  có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó:

i Nếu hàm số  y f x  đồng biến thì  ' 0, f x x I  

 ii Nếu hàm số  y f x  nghịch biến thì  ' 0, f x x I  

Lưu ý: Điều ngược lại chưa chắc đúng. (Xem Ví dụ 1)

Điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên khoảng:

Giả sử hàm số  y f x  có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó:

i Nếu  ' 0, f x x I   và dấu " "  chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm

của khoảng I thì hàm số  y f x  đồng biến trên I .

 ii Nếu  ' 0, f x x I   và dấu " "  chỉ xảy ra ở hữu hạn

điểm của khoảng I thì hàm số  y f x  nghịch biến trên I .

  iii Nếu  ' 0, f x x I   thì hàm số  y f x  không đơn điệu

(không đổi) trên I .

*Mở rộng khoảng đơn điệu trên nữa khoảng, đoạn:

Điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên nữa khoảng:

Nhóm toán anh Dúi [PHÁ ĐƯỜNG DÂY HÀM SỐ]

3 [ I can't, I can! ]

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm

số  y f x  liên tục

trên như hình 2 bên dưới

Đồ thị I.I.2

Ta có nhận xét như sau:

Hàm số  y f x 

nghịch biến trên khoảng

  ;2  .

Hàm số  y f x 

không đổi trên khoảng

  2;6 .

Hàm số  y f x  đồng

biến trên khoảng

  6;.

Lưu ý: Trên khoảng

  6; có một điểm

(hữu hạn) làm đồ thị hàm số đi ngang (đạo hàm tại điểm đó bằng không).

Vì hàm số liên tục trên đoạn , nên hoàn toàn ta có thể thay các khoảng I thành các nửa khoảng, đoạn 'I tương ứng.

Giả sử hàm số liên tục trên nửa khoảng   ;a b (hoặc   ;a b )

và có đạo hàm trên khoảng   ;a b . Khi đó:

i Nếu    ' 0, ; f x x a b   và dấu " "  chỉ xảy ra ở hữu hạn

điểm của khoảng   ;a b thì hàm số  y f x  đồng biến trên nửa

khoảng   ;a b (hoặc   ;a b ).

 ii Nếu    ' 0, ; f x x a b   và dấu " "  chỉ xảy ra ở hữu hạn

điểm của khoảng   ;a b thì hàm số  y f x  nghịch biến trên nửa

khoảng   ;a b (hoặc   ;a b ).

  iii Nếu    ' 0, ; f x x a b   thì hàm số  y f x  không đơn

điệu (không đổi) trên nửa khoảng   ;a b (hoặc   ;a b ).

Điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên đoạn:

Giả sử hàm số  y f x  liên tục trên đoạn   ;a b và có đạo hàm trên

khoảng   ;a b . Khi đó:

i Nếu    ' 0, ; f x x a b   và dấu " "  chỉ xảy ra ở hữu hạn

điểm của khoảng   ;a b thì hàm số  y f x  đồng biến trên đoạn

  ;a b .

Nếu    ' 0, ; f x x a b   và dấu " "  chỉ xảy ra ở hữu hạn

điểm của khoảng   ;a b thì hàm số  y f x  nghịch biến trên đoạn

  ;a b .

Nếu    ' 0, ; f x x a b   thì hàm số  y f x  không đơn

điệu (không đổi) trên đoạn   ;a b .

Nhận xét chiều biến thiên: Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị hàm số có chiều hướng đi lên từ trái sang phải. Nếu hàm số nghịch biến thì đồ thị hàm số có chiều hướng đi xuống từ trái sang phải. Tất nhiên, hàm hằng thì chỉ là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành. (Xem Ví dụ 2).

 y f x 

 ii

  iii