Bài giảng tiếp tuyến của đồ thị hàm số

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 1

BÀI 5. TIẾP TUYẾN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự tiếp xúc của hai đồ thị.

+ Hiểu được ý nghĩa của đạo hàm liên quan đến hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm.

+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc và

tiếp tuyến đi qua điểm cho trước.

 Kĩ năng

+ Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước.

+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết trước.

+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước.

+ Giải được các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cho hai hàm số  f x và  g x có đạo hàm tại điểm 0 x . Ta nói rằng

hai đường cong   C :y f x  và    C : y g x   tiếp xúc với nhau tại

điểm   0 0 M x ;y nếu M là một tiếp điểm chung của chúng.

(C) và (C) có tiếp tuyến chung tại M.

Điều kiện tiếp xúc:

Hai đường cong (C):  y f x  và    C : y g x   tiếp xúc với nhau  hệ phương trình

   

f x g x

f x g x

     

có nghiệm.

Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

TOANMATH.com Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước

Bài toán 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong

Phương pháp giải

Cho hai đường cong (C):  y f x  và

   C : y g x   . Điều kiện để hai đường cong

tiếp xúc với nhau là hệ phương trình

   

f x g x

f x g x

     

có nghiệm.

- Nghiệm 0 x x  của hệ trên là hoành độ

của tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

- Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai

đường cong (C) và   C tiếp xúc với nhau tại

bấy nhiêu điểm.

Ví dụ: Cho đồ thị hàm số 

3 C : y x 3x 2    .

Hoành độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục Ox là

nghiệm của hệ

3

2 x 3x 2 0

3x 3 0

       

x 2;x 1 x 1 x 1

       

Vậy tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục hoành

là   A 1;0  .

Ví dụ mẫu

TIẾP

TUYẾN

Điều kiện tiếp xúc của hai

đồ thị hàm số:

Hai đường cong (C):

 y f x  và      C : y g x

tiếp xúc với nhau khi và chỉ

khi hệ phương trình

   

f x g x

f x g x

     

có nghiệm

Nghiệm của hệ phương

trình là hoành độ tiếp điểm

của hai đường cong đó.

Khái niệm tiếp tuyến

chung của hai đồ thị hàm

số:

Cho hai hàm số  f x và

 g x có đạo hàm tại điểm

0 x . Ta nói rằng hai đường

cong (C):  y f x  và

   C : y g x   tiếp xúc với

nhau tại điểm   0 0 M x ;y

nếu M là một tiếp điểm

chung của chúng.

Hai đường cong có tiếp

tuyến chung tại M.

TOANMATH.com Trang 4

Ví dụ 1: Đồ thị hàm số 3 y x x 1    tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây?

A. y x 1  . B. y 2x 1.  

C. y x 1.  D. y 2x 1.  

Hướng dẫn giải:

Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong   C : y f x  và    C : y g x   là hệ phương trình

   

f x g x

f x g x

     

có nghiệm.

Ta có 2 y 3x 1 0, x    nên các phương án B, C bị loại.

Xét phương án A. y x 1  . Ta có hệ

3

2 x x 1 x 1 x 0 3x 1 1

         

.

Vậy đường thẳng y x 1   tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.

Chọn A.

Ví dụ 2. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2x m   tiếp xúc với đồ thị

hàm số x 1 y x 1    là

A.   7; 1  . B.   1  . C.  6 . D.   6; 1  .

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng y 2x m   tiếp xúc với đồ thị hàm số x 1 y x 1    khi và chỉ khi hệ phương trình sau có

nghiệm

   

2 2 2

0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 0 1 1 1 7

                                                      

x x x m x x x m m x x m x x

x x x x x m

Vậy   1;7  m thì đường thẳng d tiếp xúc với (C).

Chọn A.

Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị ( m C ) của hàm số

3 2 4 7 3     y x mx mx m …