Bài giảng đường tiệm cận của đồ thị hàm số

TOANMATH.com Trang 1

BÀI 4. TIỆM CẬN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận

+ Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số

 Kĩ năng

+ Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi công thức, cho bởi bảng

biến thiên.

+ Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số.

+ Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn.

+ Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Đường thẳng 0  y y được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

  y f x nếu  0 lim

  x f x y hoặc 0 lim

 x y

Đường thẳng 0  x x được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

  y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

 

0 0 lim ; lim       x x x x f x f x ;

 

0 0 lim ; lim       x x x x f x f x .

TOANMATH.com Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Tiệm cận đứng

Đường thẳng 0  x x được gọi là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

  y f x nếu ít nhất một trong

các điều kiện sau được thỏa mãn:

 

0 0 lim ; lim       x x x x f x f x

 

0 0 lim ; lim       x x x x f x f x

Tiệm cận ngang

Đường thẳng 0  y y được gọi là

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

  y f x nếu  0 lim

  x f x y

hoặc 0 lim

 x y

TIỆM CẬN

TOANMATH.com Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khi biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị

Bài toán 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa của đường tiệm cận

Tiệm cận ngang

Đường thẳng 0  y y là đường tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số   y f x nếu  0 lim

  x f x y hoặc

 0 lim

  x f x y

Tiệm cận đứng

Đường thẳng 0  x x là đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số   y f x nếu một trong các điều kiện

sau được thỏa mãn:

 

0 0 lim ; lim       x x x x f x f x

 

0 0 lim ; lim       x x x x f x f x

Ví dụ: Cho hàm số   y f x có  lim 1   x f x và

lim 1  x

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có

phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị

hàm số   y f x là 1  y và 1  y .

Ví dụ: Cho hàm số   y f x có  2 lim

  x f x

và  2 lim

  x f x .

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có

phương trình các đường tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số   y f x là 2  x và 2  x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số   y f x có  lim 3   x f x và  lim 3   x f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là 3  y và 3  y

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là 3  x và 3  x

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

Hướng dẫn giải

Vì  lim 3   x f x nên 3  y là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì  lim 3   x f x nên 3  y là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hàm số   y f x có đồ thị là đường cong  C và các giới hạn:

    2 2 lim 1; lim 1; lim 2; lim 2 x x x x f x f x f x f x           . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng 2  x là tiệm cận đứng của  C