Nắm trọn chuyên đề hàm số

 Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K .

 Định nghĩa 1.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và   y f x là một hàm số xác định

trên K, ta nói:

Hàm số   y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

   1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x Hàm số   y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

   1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.  Nhận xét.

 Nhận xét 1.

 Nếu hàm số  f x và  g x cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số    f x g x cũng

đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu    f x g x .

 Nhận xét 2.

 Nếu hàm số  f x và  g x là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì

hàm số   . f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi

các hàm số   , f x g x không là các hàm số dương trên D.

 Nhận xét 3.

 Cho hàm số   u u x , xác định với   ;  x a b và    ;  u x c d . Hàm số      f u x cũng xác

định với   ;  x a b . Ta có nhận xét sau:

 Giả sử hàm số   u u x đồng biến với   ;  x a b . Khi đó, hàm số      f u x đồng biến với

   ;   x a b f u đồng biến với   ;  u c d .

 Giả sử hàm số   u u x nghịch biến với   ;  x a b . Khi đó, hàm số      f u x nghịch biến với

   ;   x a b f u nghịch biến với   ;  u c d .

 Định lí 1.

 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì  ' 0,   f x x K .

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì  ' 0,   f x x K .

 Định lí 2.

 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f đồng biến trên K.

Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f nghịch biến trên K.

Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f không đổi trên K.

 Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:

Nếu  0 f x   , x K  và  0 f x   chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến

trên K .

Nếu  0 f x   , x K  và  0 f x   chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến

trên K

Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số   ; y f x m  đơn điệu trên khoảng   ; .

 Bước 1: Ghi điều kiện để   ; y f x m  đơn điệu trên   ; . Chẳng hạn:

 Đề yêu cầu   ; y f x m  đồng biến trên   ;    ; 0 y f x m      .

 Đề yêu cầu   ; y f x m  nghịch biến trên   ;    ; 0 y f x m      .

 Bước 2: Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là  g x , có hai trường hợp thường gặp :

  m g x  ,   ; x  

   ; max m g x    .

  m g x  ,   ; x  

   ; min m g x    .

 Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số  g x trên D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó suy ra m .

Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số ax b y cx d    đơn điệu trên khoảng   ; .

 Tìm tập xác định, chẳng hạn d x c  . Tính đạo hàm y.

 Hàm số đồng biến 0 y   (hàm số nghịch biến 0 y   ). Giải ra tìm được m  1 .

 Vì d x c  và có   ; x   nên   ; d

c    . Giải ra tìm được m  2 .

 Lấy giao của 1 và  2 được các giá trị m cần tìm.

 Cần nhớ: “Nếu hàm số  f t đơn điệu một chiều trên miền D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

biến) thì phương trình  0 f t  có tối đa một nghiệm và u , v D  thì   f u f v u v   .