Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC tiếp tuyến của đồ thị hàm số

BÀI 5. TIẾP TUYẾN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

Cho hai hàm số  f x và  g x có đạo hàm tại điểm 0 x . Ta nói rằng

hai đường cong   C :y f x  và    C : y g x   tiếp xúc với nhau tại

điểm   0 0 M x ;y nếu M là một tiếp điểm chung của chúng.

(C) và (C) có tiếp tuyến chung tại M.

Điều kiện tiếp xúc:

Hai đường cong (C):  y f x  và    C : y g x   tiếp xúc với nhau  hệ phương trình

   

f x g x

f x g x

      có nghiệm.

Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

B. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong

1. Phương pháp giải

Cho hai đường cong (C):  y f x  và    C : y g x   . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với

nhau là hệ phương trình    

f x g x

f x g x

      có nghiệm.

- Nghiệm 0 x x  của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

- Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai đường cong (C) và   C tiếp xúc với nhau tại bấy nhiêu điểm.

2. Bài tập

Bài tập 1: Đồ thị hàm số 3 y x x 1    tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây?

A. y x 1  . B. y 2x 1.  

C. y x 1.  D. y 2x 1.  

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong   C : y f x  và    C : y g x   là hệ phương trình

   

f x g x

f x g x

      có nghiệm.

Ta có 2 y 3x 1 0, x    nên các phương án B, C bị loại.

Xét phương án A. y x 1  . Ta có hệ

3

2 x x 1 x 1 x 0 3x 1 1

          .

Vậy đường thẳng y x 1   tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.

Bài tập 2. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2x m   tiếp xúc với đồ thị

hàm số x 1 y x 1    là

A.   7; 1  . B.   1  . C.  6 . D.   6; 1  .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đường thẳng y 2x m   tiếp xúc với đồ thị hàm số x 1 y x 1

   khi và chỉ khi hệ phương trình sau có

nghiệm

   

2 2 2

0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 0 1 1 1 7

                                                      

x x x m x x x m m x x m x x x x x x x m

Vậy   1;7  m thì đường thẳng d tiếp xúc với (C).

Bài tập 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị ( m C ) của hàm số

3 2 4 7 3     y x mx mx m tiếp xúc với parabol 

2 : 1    P y x x . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 11 4 . B. 331 4 . C. 9 4 . D. 4 .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Để ( m C ) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm:

3 2 2

2 4 7 3 1

3 8 7 2 1

            

x mx mx m x x

x mx m x

    

  

3 2

2 4 1 7 1 3 1 0 1

3 2 4 1 7 1 0 2

             

x m x m x m

x m x m

Giải (1), ta có (1)    2 1 4 3 1 0       x x mx m

2 1

4 3 1 0

      

x

x mx m

+ Với 1  x thay vào (2) được 2  m

+ Xét hệ 

    

2

2 4 3 1 0 3 2 1 1 4 3 2 4 1 7 1 0

              

x mx m m x m x m x m .

• Nếu 1 2  m thì (4) vô nghiệm.

• Nếu 1 2  m thì (4) 1 2 1     m x m .

Thay 1 2 1    m x m vào (3) ta được

2 1 1 4 3 1 0 2 1 2 1                   

m m m m m m

3 2

2 1 4 11 5 2 0 4 1

              

m

m m m m

m

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy 1 2; ;1 4         S nên tổng các phần tử trong S bằng 11 4 .

Bài tập 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 

3 2 1 2 2 1 3 2      x y m x mx tiếp xúc với đường thẳng 1  y . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 10. B. 20. 3 C. 8. 3 D. 32 . 3

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Xét hệ phương trình   

  

3 2

2

1 2 2 1 1 1 3 2 2 2 0 2

           

x m x mx

x m x m

Giải phương trình (2) ta được 2

    

x m

x .

+ Với  x m , thay vào (1) ta được        

3 2 0 0 6 6 m m m m .

+ Với 2  x , thay vào (1), ta được 2 3  m .

Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng 1  y là

2 0;6; 3   …