Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC cực trị của hàm số

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên   K K và 0x K 

a) 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   ;a b K  chứa điểm 0x sao

cho      0 0 , ; \ . f x f x x a b x  

Khi đó   0 f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b) 0x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   ;a b K  chứa điểm 0x sao

cho      0 0 , ; \ . f x f x x a b x  

Khi đó   0 f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Chú ý:

1) Điểm cực đại (cực tiểu) 0x được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu)   0 f x của hàm

số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu)   0 f x không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên

tập K;   0 f x chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng   ;a b chứa 0x .

3) Nếu 0x là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm     0 0 ; x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm

số f.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm 0x thì   0 0. f x  

Chú ý:

1) Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f có thể bằng 0 tại điểm 0x nhưng hàm số f không đạt

cực trị tại điểm 0x .

2) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

a) Nếu  f x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm 0x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại

điểm 0x .

b) Nếu  f x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm 0x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại

điểm 0x .

Định lí 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  ;a b chứa điểm   0 0 , 0 x f x   và f có đạo hàm cấp hai

khác 0 tại điểm 0x .

a) Nếu   0 0 f x   thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0. x

b) Nếu   0 0 f x   thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0. x

Nếu   0 0 f x   thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP BÀI TẬP

Dạng 1: Cho hàm số ( ) f x hoặc ( ) 'f x . Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị

1. Phương pháp

Cách 1: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu

Bước 1. Tìm  f x 

Bước 2. Tìm các điểm   1,2,... ix i  tại đó đạo hàm bằng không hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo

hàm.

Bước 3. Xét dấu  f x  . Nếu  f x  đổi dấu khi x qua điểm ix thì hàm số đạt cực trị tại điểm ix .

Cách 2: Dùng định lý 3

Bước 1: Tìm  f x 

Bước 2: Tìm các nghiệm   1,2,... ix i  của phương trình  0. f x  

Bước 3: Tính  i f x 

 Nếu  0 i f x   thì hàm số f đạt cực đại tại điểm . ix

 Nếu  0 i f x   thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm . ix

Nếu  0 i f x   thì ta lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị.

* Tìm (điểm) cực trị thông qua đạo hàm  f x  : Ta đi đếm số nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm

2. Bài tập

Bài tập 1: Giá trị cực đại của hàm số 

2 2 1 f x x x    là số nào dưới đây?

A. 3 . 3 B. 3. C. 3.  D. 3 . 3 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Hàm số đã cho xác định trên . 

Ta có:  2 2 1 . 1

x f x x   

Từ đó: 

2 2 2 2 0 3 0 1 2 . 3 1 4

x f x x x x x x

           

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm 3 3 x  , giá trị cực đại của hàm số là 3 3. 3 f        

Bài tập 2: Các điểm cực đại của hàm số  2sin f x x x   có dạng (với k )