Chuyên đề cực trị của hàm số - Hoàng Xuân Nhàn

1 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hoàng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 1

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Những khái niệm cơ bản về cực trị:

Điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị: Xét đồ thị hàm số trong hình vẽ

bên, ta có điểm A được gọi là điểm cực đại của đồ thị, hai điểm

, B C là các điểm cực tiểu của đồ thị. Điểm cực đại, cực tiểu của

đồ thị hàm số được gọi chung là điểm cực trị của đồ thị hàm số đó.

Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số:

Giả sử hàm số ( ) y f x  xác định trên . D

 Ta nói 0x là một điểm cực đại của hàm ( ) f x nếu tồn tại khoảng

( ; ) a b D  và 0 ( ; ) x a b  sao cho  0 0 ( ) ( ), ( ; ) \ . f x f x x a b x  

Khi đó 0 ( ) f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số ( ) ; y f x 

điểm   0 0 ; ( ) M x f x được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số

( ). y f x 

 Ta nói 0x là một điểm cực tiểu của hàm ( ) f x nếu tồn tại khoảng ( ; ) a b D  và 0 ( ; ) x a b  sao

cho  0 0 ( ) ( ), ( ; ) \ . f x f x x a b x   Khi đó 0 ( ) f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

( ) ; y f x  điểm   0 0 ; ( ) M x f x được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ( ). y f x 

 Lưu ý:

 Điểm cực đại hay điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị; giá trị cực đại hay giá trị cực

tiểu được gọi chung là cực trị.

 Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) 0 ( ) f x không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

hàm số trên tập xác định D, 0 ( ) f x chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên một khoảng

( ; ) a b D  nào đó chứa 0x mà thôi. Chẳng hạn, trong hình vẽ trên, ta thấy điểm A là điểm cực

đại của đồ thị, nên A y là giá trị cực đại của hàm số, tuy nhiên A D y y  nên giá trị cực đại A y

chưa phải là giá trị lớn nhất của hàm số đó. Tương tự điểm B là điểm cực tiểu của đồ thị nên

By là giá trị cực tiểu của hàm số, tuy nhiên B E y y  nên By chưa phải là giá trị nhỏ nhất của

hàm số đó.

2 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hoàng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 2

2. Điều kiện có cực trị của hàm số:

a) Điều kiện cần: Nếu hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên ( ; ) a b và đạt cực trị tại 0 ( ; ) x a b  thì

0 ( ) 0. f x  

b) Điều kiện đủ:

 Định lí 1: Giả sử hàm số ( ) y f x  liên tục trên khoảng ( ; ) a b chứa 0x , đồng thời có đạo hàm

trên khoảng ( ; ) a b hoặc  0 ( ; ) \ a b x . Khi đó:

 Nếu

0

0

( ) 0, ( ; )

( ) 0, ( ; )

f x x a x

f x x x b

       

thì hàm số ( ) y f x  đạt cực đại tại điểm 0 x x  .

 Nếu

0

0

( ) 0, ( ; )

( ) 0, ( ; )

f x x a x

f x x x b

       

thì hàm số ( ) y f x  đạt cực tiểu tại điểm 0 x x  .

BBT 1:Hàm số đạt cực đại tại 0 x x  .

x a 0x b

( ) f x   0 

( ) f x CÑ y

Nhận thấy: ( ) f x  đổi dấu từ dương sang âm

khi x đi qua 0x .

BBT 2: Hàm số đạt cực tiểu tại 0 x x  .

x a 0x b

( ) f x   0 

( ) f x

CT y

Nhận thấy: ( ) f x  đổi dấu từ âm sang dương

khi x đi qua 0x .

 Định lí 2: Giả sử hàm số ( ) y f x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( ; ) a b chứa 0x . Khi đó:

 Nếu

0

0

( ) 0

( ) 0

f x

f x

     

thì hàm số ( ) f x đạt cực đại tại 0. x x 

 Nếu

0

0

( ) 0

( ) 0

f x

f x

     

thì hàm số ( ) f x đạt cực tiểu tại 0. x x 