Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số - Hoàng Xuân Nhàn

1 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 1

§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa tính đơn điệu:

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên tập . K

 Hàm số ( ) y f x = đồng biến (tăng) trên K nếu 1 2 , , x x K ∀ ∈ 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x < ⇒ < .

 Hàm số ( ) y f x = nghịch biến (giảm) trên K nếu 1 2 , , x x K ∀ ∈ 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x < ⇒ > .

 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K .

 Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm ( ) f x , ta hay

dùng tỉ số : 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) , f x f x T x x x x − = ∀ ≠ − và 1 2 , x x K ∈ . Cụ thể là:

• Nếu 0 T > thì hàm ( ) f x đồng biến trên . K (Tức là 1 2 ( ) ( ) f x f x − cùng dấu với 1 2 x x − ).

• Nếu 0 T < thì hàm ( ) f x nghịch biến trên . K (Tức là 1 2 ( ) ( ) f x f x − trái dấu với 1 2 x x − ).

2. Định lí (tính đơn điệu và dấu của đạo hàm):

Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên . K

 Nếu ( ) 0 f x ′ > với mọi x K ∈ thì hàm ( ) f x đồng biến trên K .

 Nếu ( ) 0 f x ′ < với mọi x K ∈ thì hàm ( ) f x nghịch biến trên K .

 Chú ý:

• Định lí trên được mở rộng với ( ) 0 f x ′ ≥ (hay ( ) 0 f x ′ ≤ ) trong trường hợp ( ) 0 f x ′ = tại

một số hữu hạn điểm; khi đó kết luận hàm số đồng biến (hay nghịch biến) vẫn đúng.

2 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 2

• Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] ;a b và có đạo hàm ( ) 0, ( ; ) f x x a b ′ > ∀∈ thì hàm số

đồng biến trên [ ] ;a b . (Tương tự cho trường hợp hàm số nghịch biến trên [ ] ;a b ).

 Bài toán 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra tính đơn điệu hàm số.  Phương pháp:

o Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

o Bước 2: Tính ( ) y f x ′ ′ = ; cho 0 y′ = 1 2 , ... Tìm nghieäm x x  (nếu có).

o Bước 3: Lập bảng biến thiên.

o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các

khoảng của tập xác định.

 Lưu ý:

o Khi lập bảng biến thiên, việc xét đúng dấu cho đạo hàm là bước quyết định, nên học

sinh phải tuyệt đối chính xác.

o Ở lớp 10, khi các em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh đã quen với thuật ngữ

“trong trái ngoài cùng” . Nghĩa là: Khu vực bên trong hai nghiệm thì biểu thức trái

dấu a , khu vực ngoài hai nghiệm thì biểu thức cùng dấu a . Tuy nhiên nếu đạo hàm

không có dạng bậc hai, thì thuật ngữ “trong trái ngoài cùng” sẽ không thể áp dụng. Vậy

có quy tắc nào chung cho việc xét dấu mọi bài toán?

 Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:

o Để xét dấu đạo hàm y′ trên một khoảng ( ; ) α β nào đó, ta chọn một giá trị 0 ( ; ) x α β ∈

rồi thay vào y′, từ đó suy ra được dấu của y′ trên ( ; ) α β .

o Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu chính xác

sau khi ta tìm được nghiệm của đạo hàm.

Dạng toán 1 Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số