Chuyên đề cực trị hàm ẩn - Nguyễn Minh Nhiên

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÀM ẨN

Tác giả: Nguyễn Minh Nhiên Nhóm Giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT năm 2020

Trong đề thi THPT quốc gia những năm gần đây hay đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT năm 2020, các bài toán về xác định cực trị của hàm số cho bởi bảng biến thiên, đồ thị hay đạo hàm của nó (ta vẫn gọi là cực trị hàm ẩn) thường gây khó khăn cho nhiều thí sinh. Bài viết này sẽ giúp các em có tìm ra hướng tiếp cận đơn giản nhất để giải quyết các bài toán đó thật dễ dàng.

1. Dựa vào bằng biến thiên hoặc đồ thị hàm  f x  xác định số lần đổi dấu của  f x  .

Nếu xác định được số lần đổi dấu từ   sang   của  f x  ta sẽ xác định được số

điểm cực đại của  f x ; số lần đổi dấu từ   sang   của  f x  ta sẽ xác định được số điểm

cực tiểu của  f x .

* Lỗi thường gặp: Đếm thừa điểm mà qua đó đạo hàm không đổi dấu.

Câu 1: (Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT năm 2020 lần 1) Cho hàm số  f x có bảng xét

dấu của  f x  như sau:

 

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B

Dễ thấy,  f x  một lần đổi dấu từ   sang   và một lần đổi dấu từ   sang   nên

hàm số có hai điểm cực trị.

2. Cực trị hàm     g x f u x  .

Để xác định số cực trị của hàm     g x f u x  ta thường hướng đến việc xét dấu

     g x u x f u x     .

Nếu  g x  đổi dấu 0 x TXĐ của  g x thì 0 x là điểm cực trị. Trường hợp đơn giản khi   , f x u x

là hàm đa thức thì nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ là các điểm cực trị của  g x .

* Lỗi thường gặp: Nhầm lẫn giữa nghiệm bộ chẵn và nghiệm bội lẻ.

x  1  0 1  y 0 0  0 

Câu 2: (Đề tham khảo TNTHPT lần 1 năm 2020) Cho hàm số bậc bốn  y f x  có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm

số    3 2 3 g x f x x   là

A. 5. B. 3. C. 7. D. 11.

Lời giải Chọn C Từ đồ thị suy ra hàm số  y f x  có 3 điểm cực trị

1 2 3 0 4 x x x    

Xét hàm số    3 2 3 g x f x x   , ta có     2 3 2 3 6 3 g x x x f x x     

  

2

3 2

3 2

0 3 6 0 0 2 3 0 3 , 1;2;3 i

x x x g x x f x x x x x i

                      

Ta có đồ thị hàm số 3 2 3 y x x  

Ta có nhận xét rằng phương trình 3 2

1 3 x x x   có 1 nghiệm;

phương trình 3 2

2 3 x x x   có 3 nghiệm; phương trình

3 2

3 3 x x x   có 1 nghiệm cả 5 nghiệm này đôi một phân biệt, đều

khác 0; 2 .

Như vậy,  0 g x   có 7 nghiệm đơn phân biệt

Do đó hàm số  g x có 7 điểm cực trị.

Câu 3: Cho  f x là đa thức bậc 4 và hàm số  y f x   có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Số điểm cực đại của hàm số    3 3 g x f x x   là

A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B

x

y

1 -2

-4 y=f'(x)

-3 O

x

y

4 O

x

y

x=x2

x=x3

x=x1

-3

4

1 -2 O

Ta có     2 3 3 3 3 g x x f x x      ,   

3

3 3 3 0 (1) 0 ' 3 0 (2)

x g x f x x

         

(1) 1 x  .

Dựa vào đồ thị đã cho thì

3

3

3 2 (2) 3 1

x x

x x

       

Trong đó phương trình 3 1 3 2 2

x x x x

       

.

Còn phương trình: 3 3 1 x x   có 3 nghiệm phân biệt: 1 2 1 x   , 2 1 0 x   và

3 1 2 x  

Ta có bảng biến thiên của hàm số  g x

Vậy hàm số  g x có 2 điểm cực đại.

3. Cực trị hàm      g x f u x v x   .

Để xác định số cực trị của hàm      g x f u x v x   ta cần xét dấu

      g x u x f u x v x       .

+ Hướng 1: Xét dấu  g x  dựa vào đồ thị hai hàm      ; y u x f u x y v x     

+ Hướng 2: Đưa      u x f u x v x     về dạng tích.

* Lỗi thường gặp: Xác định sai dấu hoặc nhầm lẫn giữa nghiệm bộ chẵn và nghiệm bội lẻ. Câu 4: Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số ( ) y f x   như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số ( ) 5 y f x x   là A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 .

x

y

y=f'(x)

4

2

1 -1 O