Tính đơn điệu của hàm số liên kết

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 1

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K . 1. Định nghĩa 1.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và   y f x là một hàm số xác định trên K. Ta

nói:

+ Hàm số   y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

   1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

+ Hàm số   y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

   1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. 2. Nhận xét. a. Nhận xét 1.

Nếu hàm số  f x và  g x cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số    f x g x cũng đồng biến

(nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu    f x g x .

b. Nhận xét 2.

Nếu hàm số  f x và  g x là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số

  . f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số

  , f x g x không là các hàm số dương trên D.

c. Nhận xét 3.

Cho hàm số   u u x , xác định với   ;  x a b và    ;  u x c d . Hàm số      f u x cũng xác định với

  ;  x a b . Ta có nhận xét sau:

i. Giả sử hàm số   u u x đồng biến với   ;  x a b . Khi đó, hàm số      f u x đồng biến với

   ;   x a b f u đồng biến với   ;  u c d .

ii. Giả sử hàm số   u u x nghịch biến với   ;  x a b . Khi đó, hàm số      f u x nghịch biến với

   ;   x a b f u nghịch biến với   ;  u c d .

3. Định lí 1. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì  ' 0,   f x x K .

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì  ' 0,   f x x K .

4. Định lí 2. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f nghịch biến trên K.

c) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 2

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn   ;a b và    ' 0, ;   f x x a b thì hàm số f đồng biến trên đoạn

  ;a b .

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau: 5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu  ' 0,   f x x K và  ' 0  f x chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu  ' 0,   f x x K và  ' 0  f x chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 Nếu  ' 0 f x  với mọi x K  và  ' 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm x K  thì hàm số f đồng

biến trên K .

 Nếu  ' 0 f x  với mọi x K  và  ' 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm x K  thì hàm số f nghịch

biến trên K .

BÀI TẬP MẪU:

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hàm số  f x . Hàm số  '  y f x có đồ thị như hình bên. Hàm

số    2 1 2     g x f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. 3 1; 2       . B. 1 0; 2       . C.   2; 1   . D.   2;3 .

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn dạng    g x f u x v x       khi

biết đồ thị của hàm số  y f x   .

2. HƯỚNG GIẢI:

x

y

– 2

4

1

– 2 O