Cực trị của hàm số - Lê Văn Đoàn

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 12 TRUNG TÂM TÂN VƯƠNG – 594/9 HƯƠNG LỘ 2 – BÌNH TÂN Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Trang - 63 -

§ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ



A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khái niệm cực đại, cực tiểu

Cho hàm số ( ) y f x  xác định, liên tục trên ( ; ), a b (có thể a là ,  b là )  và ( ; ) : x a b    Nếu tồn tại số 0 h  sao cho ( ) ( ) f x f x   với mọi ( ; ) x x h x h      và x x   thì ta

nói hàm số ( ) f x đạt cực đại tại điểm . x 

 Nếu tồn tại số 0 h  sao cho ( ) ( ) f x f x   với mọi ( ; ) x x h x h      và x x   thì ta

nói hàm số ( ) f x đạt cực tiểu tại điểm . x 

Các định lí

1. Định lí 1 (điều kiện cần)

Nếu hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x

thì ( ) 0. f x   

2. Định lí 2 (điều kiện đủ)

Giả sử ( ) y f x  liên tục trên khoảng ( ; ) K x h x h      và có đạo hàm trên K hoặc

trên \ { }, K x với 0. h  Khi đó:

 Nếu ( ) 0 f x   trên khoảng ( ; ) x h x    và ( ) 0 f x   trên khoảng ( ; ) x x h    thì x là

một điểm cực đại của hàm số ( ). f x

 Nếu ( ) 0 f x   trên khoảng ( ; ) x h x    và ( ) 0 f x   trên khoảng ( ; ) x x h    thì x là

một điểm cực tiểu của hàm số ( ). f x

x x h   x x h   x x h   x x h  

( ) f x   0  ( ) f x   0 

( ) f x

yCĐ

( ) f x

CT y

Điểm cực đại

Điểm cực tiểu

Tiếp tuyến

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH ÑEÀ CÖÔNG HOÏC TAÄP LÔÙP 12 TRUNG TÂM TÂN VƯƠNG – 594/9 HƯƠNG LỘ 2 – BÌNH TÂN Môn: Toán, Năm học: 2019 – 2020

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Trang - 64 -

Nói cách khác:  Nếu ( ) f x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số

( ) y f x  đạt cực tiểu tại điểm . x 

 Nếu ( ) f x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số

( ) y f x  đạt cực đại tại điểm . x 

2. Định lí 3

Giả sử ( ) y f x  có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( ; ), x h x h     với 0. h  Khi đó:

 Nếu ( ) 0, ( ) 0 y x y x       thì x là điểm cực tiểu.

 Nếu ( ) 0, ( ) 0 o o y x y x     thì x là điểm cực đại.

Chú ý. Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số

bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm, chẳng hạn hàm số . y x 

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng toán 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu



 Bài toán: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm số ( ). y f x 

 Phương pháp:

 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.  Bước 2. Tính đạo hàm ( ). y f x    Tìm các điểm , ( 1,2,3,..., ) ix i n  mà tại đó đạo hàm

bằng 0 hoặc không xác định.  Bước 3. Sắp xếp các điểm ix theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

 Bước 4. Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 2).

BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Cho hàm số ( ) y f x  có bảng biến thiên:

 Hàm số đạt cực tiểu tại: 1. x 

 Hàm số đạt cực đại tại: 2. x 

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số: 1. y  CĐ

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số: CT 3. y 

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số: (2;1). M

 Điểm cực tiểu đồ thị hàm số: ( 1; 3). N 

2. Cho hàm số ( ) y f x  có bảng biến thiên:

 Hàm số đạt cực tiểu tại: ...............................

 Hàm số đạt cực đại tại: ...............................

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số: ................

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số: ...............

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số: ................

 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: ...............