Bài giảng sự đồng biến và nghịch biến của hàm số - Phùng Hoàng Em

CHƯƠNG

1 KHẢO SÁT HÀM SỐVÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài 1. SỰĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Cho hàm sốy = f(x) xác định trên (a;b). Khi đó

✓Hàm sốđồng biến trên (a;b) nếu

∀x1, x2 ∈(a;b): x1 < x2 ⇒f(x1) < f(x2)

• Trên khoảng (a;b), đồthịlà một "đường đi lên" khi xét từtrái sang phải. O x

y

x1

f(x1)

x2

f(x2)

✓Hàm sốnghịch biến trên (a;b) nếu

∀x1, x2 ∈(a;b): x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x2)

• Trên khoảng (a;b), đồthịlà một "đường đi xuống" khi xét từtrái sang phải. O x

y

x1

f(x1)

x2

f(x2)

2 Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu

✓Cho hàm sốy = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). Xét m,n ∈(a;b).

Nếu f(m) = f(n) thì m = n. x Nếu f(m) > f(n) thì m > n. y Nếu f(m) < f(n) thì m < n. z Với k là một sốthực cho trước, phương trình f(x) = k có không quá 1 nghiệm thực trên (a;b).

{

✓Cho hàm sốy = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b). Xét m,n ∈(a;b).

Nếu f(m) = f(n) thì m = n. x Nếu f(m) > f(n) thì m < n. y Nếu f(m) < f(n) thì m > n. z Với k là một sốthực cho trước, phương trình f(x) = k có không quá 1 nghiệm thực trên (a;b).

{

3 Liên hệgiữa đạo hàm và tính đơn điệu

Cho hàm sốy = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

Nếu y′ ≥0, ∀x ∈(a;b) thì y = f(x) đồng biến trên (a;b). x

Nếu y′ ≤0, ∀x ∈(a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên (a;b). y

Chú ý: Dấu bằng xảy ra chỉtại các điểm "rời nhau".

GV: Phùng V. Hoàng Em Trang 1

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

BUỔI SỐ1

{ DẠNG 1. Ứng dụng đạo hàm đểtìm khoảng đơn điệu của một hàm cho trước

Phương pháp giải.

1 Tìm tập xác định D của hàm số.

2 Tính y′, giải phương trình y′ = 0 tìm các nghiệm xi (nếu có).

3 Lập bảng xét dấu y′ trên miền D. Từdấu y′, ta suy ra chiều biến thiên của hàm số.

✓Khoảng y′ mang dấu −: Hàm nghịch biến.

✓Khoảng y′ mang dấu +: Hàm đồng biến.

# Ví dụ1. Hàm sốy = −x3 +3x−4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞;−1). B. (−∞;−1) và (1;+∞). C. (1;+∞). D. (−1;1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

# Ví dụ2. Cho hàm sốy = x3 +3x2 −2. Mệnh đềnào dưới đây đúng? A. Hàm sốnghịch biến trên khoảng (1;5). B. Hàm sốđồng biến trên khoảng (−∞;1) và (2;+∞). C. Hàm sốnghịch biến trên khoảng (−∞;−2) và (0;+∞). D. Hàm sốđồng biến trên khoảng (−∞;−2) và (0;+∞).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

# Ví dụ3. Hàm sốy = −x4 +2x3 −2x−1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. Å −∞;−1

2

ã . B. Å −1

2;+∞ ã . C. (−∞;1). D. (−∞;+∞).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

# Ví dụ4. Hàm sốy = x4 +8x3 +5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0;+∞). B. (−∞;−6). C. (−6;0). D. (−∞;+∞).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GV: Phùng V. Hoàng Em Trang 2