Cực trị hàm số - Lê Hải Trung

Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 1

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 2: Cực trị hàm số.

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x  xác định trên tâp   D D R  và 0 x D 

 Nếu tồn tại một khoảng ( ; ) a b chứa điểm 0 x sao cho ( ; ) D  a b và    0 f x f x  với mọi

 0 0 ( ; ) \  x a b x thì ta nói hàm số ( ) f x đạt cực đại tại 0x và   0 f x được gọi là giá trị cực

đại của hàm số .  Nếu tồn tại một khoảng ( ; ) a b chứa điểm 0 x sao cho ( ; ) D  a b và    0  f x f x với mọi

 0 0 ( ; ) \  x a b x thì ta nói hàm số ( ) f x đạt cực tiểu tại 0x và   0 f x được gọi là giá trị cực

đại của hàm số .

2. Điều kiện cần để có cực trị

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0 x . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại 0 x thì  0 ' 0 f x 

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số ( ) y f x  liên tục trên

0 0 ( ; ) K x h x h    và có đạo hàm trên K hoặc trên 0 \{ } K x , với 0 h  .

 Nếu  ' 0 f x  trên khoảng 0 0 ( ; ) x h x  và '( ) 0 f x  trên 0 0 ( ; ) x x h  thì 0x là một điểm cực

đại của hàm số ( ) f x .

 Nếu  0 f x   trên khoảng 0 0 ( ; ) x h x  và ( ) 0 f x   trên 0 0 ( ; ) x x h  thì 0x là một điểm cực

tiểu của hàm số ( ) f x .

Minh họa bằng bảng biến thiến

 Chú ý.

 Nếu hàm số ( ) y f x  đạt cực đại (cực tiểu) tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của hàm số; 0 ( ) f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của

x 0x h  0x 0x h  x 0x h  0x 0x h 

( ) f x    ( ) f x   

( ) f x

CÑ f

( ) f x

CT f

Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 2

hàm số, kí hiệu là ( ) CT f f CÑ , còn điểm 0 0 ( ; ( )) M x f x được gọi là điểm cực đại (điểm

cực tiểu) của đồ thị hàm số.  Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực

tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

 Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính  f x  . Tìm các điểm tại đó  f x  bằng 0 hoặc  f x  không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

 Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính  f x  . Giải phương trình  f x  và ký hiệu ix   1,2,3,... i  là các nghiệm

của nó.

Bước 3. Tính  f x  và  i f x  .

Bước 4. Dựa vào dấu của  i f x  suy ra tính chất cực trị của điểm ix .

5. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba   3 2 0 y ax bx cx d a     

Ta có 2 3 2 y ax bx c   

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình 0 y có hai nghiệm phân biệt

2 3 0 b ac    . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là :

2 2 2 3 9 9 c b bc y x d a a          

.

 Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

  3 2 2 3 2 3 9

x i x b ax bx cx d ax bx c Ai B y Ax B a

                  

Hoặc sử dụng công thức . 18 y y y a   .

 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

3 4 16 e e AB a   với

2 3 9 b ac e a  