Bài tập vectơ và hệ tọa độ trong không gian

197

PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG Chương II. VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

A. Kiến thức cần nhớ

1. Vectơ trong không gian

• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. • Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. • Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ a 

được kí hiệu là a 

.

• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. • Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. • Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ a 

, b 

bằng nhau thì ta viết là a b =  

. • Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. Vectơ đối của a 

được kí hiệu là a −



. • Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là , , , , u v x y 

…

• Trong không gian, cho điểm O và vectơ a 

, tồn tại duy nhất điểm M để OM 

= a 

. 2. Tổng và hiệu của hai vectơ a) Tổng của hai vectơ

 Trong không gian, cho hai vec tơ ,a b 

. Lấy ba điểm O, A, B sao cho

OA a =  

, AB b =  

. Ta gọi OB 

là tổng của hai vec tơ a 

và b 

, kí hiệu a b +  

.

Nhận xét: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

• Tính chất giao hoán: a b b a + = +    

• Tính chất kết hợp: ( ) ( ) a b c a b c + + = + +      

;

• Với mọi vectơ a 

, ta luôn có: 0 0 a a a + = + =     

. • Với ba điểm A, B, C ta có: AB BC AC + =   

(Quy tắc ba điểm) • Nếu ABCD là hình bình hành ta có: AB AD AC + =   

(Quy tắc hình bình hành)

• Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Ta có: AB AD AA AC ′ ′ + + =    

(Quy tắc hình hộp)

198

b) Hiệu của hai vectơ

 Trong không gian, cho hai vec tơ ,a b 

. Ta gọi ( ) a b + −  

là hiệu của hai vec tơ a 

và b 

, kí hiệu a b −  

.

• Quy tắc hiệu: Trong không gian, với ba điểm A, B, C ta có: AB AC CB − =   

3. Tích của một số với một vectơ

 Trong không gian, cho số 0 k ≠ và vec tơ 0 a ≠  

. Tích của số k với vec tơ a 

là một vec tơ, kí hiệu

ka 

, cùng hướng với a 

nếu k > 0, ngược hướng với a 

nếu k < 0 và có độ dài bằng . k a 

. Phép lấy

tích của một số với một vec tơ được gọi là phép nhân một số với một vec tơ.  Quy ước 0. a 

= 0 

và k. 0 

= 0 

. Nhận xét: Với hai vectơ a 

và b 

bất kì, với mọi số h và k, ta có: • ( ) k a b ka kb + = +    

• ( ) h k a ha ka + = +   

• ( ) ( ) h ka hk a =  

• 1.a a =  

• 1.a a − = −  

• 0 0 ka a = ⇔ =    

hoặc k = 0. • Hai vectơ a 

và b 

(b 

khác 0 

) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a 

= k.b 

• Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB k AC =  

. 4. Tích vô hướng của hai vectơ a) Góc giữa hai vectơ trong không gian

 Trong không gian, cho hai vec tơ u 

và v 

là hai vec tơ khác 0 

. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB u =  

và AC v =  

.

Khi đó, ta gọi  BAC là góc giữa hai vec tơ u 

và v 

, kí hiệu ( ) ,u v 

.

▪ 0o ≤ ( ) ,u v 

≤180o; ▪ Nếu ( ) ,u v 

= 90o thì ta nói u 

và v 

vuông góc với nhau, kí hiệu . u v ⊥  

b) Tích vô hướng của hai vectơ Ta gọi . AB AC 

là tích vô hướng của hai vec tơ u 

, v 

, ta có:

 Trong không gian, cho hai vec tơ u 

và v 

khác 0 

. Tích vô hướng của hai vec tơ u 

và v 

là một số, kí

hiệu u 

.v 

, được xác định bởi công thức ( ) . . .cos , u v u v u v =   

.

▪ Trong trường hợp 0 u =  

hoặc 0 v =  

, ta quy ước . 0 u v = 

.

▪ b)

2 2 .u u u u = =   

;

2 u 

≥ 0,

2 0 0 u u = ⇔ =  

.

▪ Với hai vectơ u 

và v 

khác 0 

, ta có ( )

. cos , .

u v u v u v =

  .

▪ Với hai vectơ u 

và v 

khác 0 

, ta có . 0 u v u v ⊥ ⇔ =   

. Nhận xét: Với ba vectơ , …