Đề thi Olympic Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Hoàng Mai - Nghệ An

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,5 điểm)

a) Tìm số nguyên , x y thỏa mãn ( ) 2 2 2 2 2 x x y xy − + = + .

b) Chứng minh rằng 3 3 – a b ab chia hết cho 6 với mọi số nguyên ,a b.

c) Tìm số nguyên n sao cho biểu thức 2 2 8 B n n = + + có giá trị là số chính phương.

Câu 2. (4,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A =

2 2

2 2 2 2 : x y x y xy y x xy x y xy   + +   − − −  

0 ( ; x y và x y ≠ ≠ ).

b) Đa thức P(x) chia cho đa thức x-3 dư 5, P(x) chia cho đa thức x-2 dư 6. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức P(x) cho đa thức 2 5 6 x x − + .

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Cho các số thực , , x y z thỏa mãn 3. x y z + + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 6 P x x z y y z = + + + .

b) Một Robot chuyển động từ A đến B theo cách sau: Sau khi đi được 4m dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lại 2 giây, đi tiếp 12 m dừng lại 3 giây, … Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Biết rằng khi đi Robot luôn có tốc độ là 2m/s.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh AEF ∆ đồng dạng với ABC ∆ .

b) Chứng minh

. . AE BF FD DE EF CD =

.

c) Trên tia đối của tia DH lấy K sao cho DK = DH, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE

và KC. Chứng minh rằng  0 90 BMN = .

Câu 5. (1,0 điểm)

Trên một đường thẳng có 10 đoạn thẳng, biết rằng không có 4 đoạn thẳng nào có điểm chung. Chứng minh rằng trong 10 đoạn thẳng đó tồn tại 4 đoạn thẳng đôi một không có điểm chung.

-----------HẾT-------------

Họ và tên học sinh:………………………………….. Số báo danh:……………………

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Ý Nội dung Điểm

Câu 1

A

(1,5)

x2 -2x +2y = 2(xy+2)

(x-1)2 -2y(x-1) =5

(x-1)(x-1-2y) = 5

Từ đó ta được x-1 thuộc Ư(5) ={1 ;5 ;-1 ;-5}

Ta có bảng kết quả

x-1 1 5 -1 -5

x-1-2y 5 1 -5 -1

x 2 6 0 -4

y -2 2 2 -2

0,5

0.5

0.5

B

(1,5)

M= a3b – ab3

= (a3b –ab ) –(ab3 –ab)

= b(a3 –a) – a (b3-b)

Ta có a3 – a = a(a-1)(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 6. Tương tự b3 –b chia hết cho 6

Nên M chia hết cho 6

0.25

0,25

0.25

0,25

0.25

0,25

C

(1,5)

B = n2 + 2n + 8 là số chính phương nên

n2 + 2n + 8 =a2 (với a là số tự nhiên)

(n+1)2 +7 =a2

(a+n+1)(a-n-1) = 7 Ta có bảng

a+n+1 1 7 -1 -7

a-n-1 7 1 -7 -1

N -4 2 2 -4

Vậy n = - 4 hoặc n= 2

0. 25

0.25

1,0

Câu 2

a

2,0

A =

2 2

2 2 2 2 : x y x y xy y x xy x y xy   + +   − − −  

( Với x ≠ y và x; y≠0)

A=

2 2 2 2

2 2 : ( ) ( ) x y x y xy x y xy x y x y xy   + +   − − −  

0.5

A=

2 2 2 2

2 2 : ( ) x y x y xy x y x y xy   + +   − −  

A=

2 2 2 2

2 2 . ( ) x y x y xy xy x y x y   + −   − +  

A= 1

0.5

0,5

0,5

b)

(2,5)

Ta có x2 -5x +6 = (x-2)(x-3)

Gọi thương và dư của phép chia P(x) cho x2-5x+6 lần lượt là A(x) và R(x). Vì đa thức chia bậc hai nên dư R(x) = ax+b

Ta có P(x) = (x-3)(x-2).A(x)+ax+b ( đúng với mọi x)

Cho x = 3 ta được P(3) = 5 nên 3a +b = 5

Cho x = 2 ta được P(2) =6 => 2a + b = 6

Ta giải được a = - 1 ; b= 8

Vậy dư là –x +8

0.5

0,5

0.5

0.5

0,5

Câu 3

A

(1,5)

Vì x+y+z=3 nên z = 3-x-y P = x(2x+z) + y(6y +z) P= 2x2 +6y2 +xz +yz P = 2x2 +6y2 +(3-x-y)(x+y) P= 2x2 +6y2+3x+3y -2xy –x2-y2 P= x2 +5y2-2xy +3x+3y 4.P =4x2 +20y2 -8xy +12x+12y 4P = (2x-2y+3)2 +(16y2 +24y +9) -9 4P= (2x-2y+3)2 +(4y+3)2 -9

Nên

4 9

9 4

P

P

≥−

− ≥

Vậy Min P = -4/9 khi x= -9/4; y = -3/4 và z= 6

0,25

0,25

0,5

0,5

B

(2,5)

Gọi số lần đi là x (lần) (x * N ∈ ), Số lần dừng là x-1 (lần)

Thời gian đi là: 4 8 12 4 ... 2 2 2 2 x + + + + 2 4 6 ... 2 ( 1) x x x = + + + + = +

(giây)

Thời gian dừng là ( 1) 1 2 3 ... ( 1) 2 x x x − + + + + − = (giây)

Theo bài ra ta có ( 1) ( 1) 155 2 x x x x − + + =

0.5

0.5

0.5

0,5