Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 - 2025 sở GDĐT Bình Phước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC

(Đề thi có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2024 - 2025 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15/02/2025 Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức 6 5 2 1 1 2 1 2 x x x P x x x x − + + = + + + − − + − , với 0; 4 x x ≥ ≠

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tìm x nguyên để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

2. Cho 14 6 5 6 2 5 x = − + + . Tính giá trị của biểu thức ( ) 2025 3 5 45 Q x x = − − .

3. Cho ba số thực , , x y z khác 0 thoả mãn 0 x y z + + = . Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2 2 3 x y z y z x z x y

x y z y z x z x y xyz

+ − + + − + + − = − + − + − +

.

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình 2 3 2 3 1 1 2 2 x x x x x − + + = − − .

2. Giải hệ phương trình ( )( )

2 2

2 3 2 (1)

3 2 3 (2)

 + + = +  + − + = 

x xy y y

x x y y

.

3. Một bể nước (ban đầu chưa có nước) được cung cấp nước bởi ba vòi. Biết rằng nếu từng vòi cung cấp nước cho bể thì vòi thứ nhất sẽ làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 10 giờ, vòi thứ ba lại làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất 8 giờ; còn nếu vòi thứ nhất và thứ hai cùng cung cấp nước cho bể thì thời gian để chúng làm đầy bể bằng với thời gian vòi thứ ba làm đầy bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng cung cấp nước cho bể thì chúng làm đầy bể trong bao lâu? Câu 3. (5,0 điểm)

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO. Đường thẳng a vuông góc với AB tại C, cắt nửa đường tròn (O; R) tại I. Trên đoạn CI lấy điểm K bất kỳ (K không trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O; R) tại M. Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R) tại M cắt đường thẳng a tại N, tia BM cắt đường thẳng a tại D.

1. Chứng minh: Tứ giác ADMC nội tiếp và tam giác MNK là tam giác cân. 2. Khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI, tính diện tích tam giác ABD theo R. 3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI (K không trùng với C và I) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên đường thẳng cố định.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 4. (2,0 điểm)

1. Một cốc thuỷ tinh có mặt trong dạng hình trụ với chiều cao bằng 15 cm đựng đầy nước và thể tích nước chứa được trong cốc bằng 240π cm3. Người ta thả vào cốc một

viên bi sắt hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy mặt trong của cốc nước, viên bi sắt ngập toàn bộ trong nước. Tính thể tích nước bị tràn ra khỏi cốc. ( 3,14 π ≈ , kết quả làm

tròn đến hàng phần chục).

2. Một hộp đựng 100 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có 35 viên bi màu đỏ, 25 viên bi màu xanh và số còn lại là bi màu vàng. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi rồi bỏ lại vào hộp.

a) Tính xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng. b) Bạn An được mẹ cho thêm x viên bi màu xanh vào trong hộp. Tìm x, biết

rằng khi đó xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng là 1 3 .

Câu 5. (3,0 điểm)

1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 4 8 2 6 9 + − = + x x xy y .

2. Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn 1 + + = a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3 3 = + + + + + + + + a b c Q a a bc b b ac c c ab .

.………………HẾT…………………

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

• Giám thị không giải thích gì thêm.