Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Vĩnh Châu - Sóc Trăng

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ VĨNH CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ Năm học 2024-2025 Môn: Toán 9 Thời gian 150 phút, không kểthời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Câu 1. (4 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ,x y thỏa mãn: ( ) 2 2 2 3x 29. x y y − + + =

b) Đội văn nghệ của lớp 9A có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Cô giáo phụ trách đội chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố T: “Trong hai bạn được chọn ra có một bạn nam và một bạn nữ”.

Câu 2. (4 điểm)

a) Cho biểu thức x y x y x y 2xy P : 1 1 xy 1 xy 1 xy

  + −   + + = + +      − − +     , với ( ) x 0;y 0;xy 1 . ≥ ≥ ≠

a1. Rút gọn biểu thức P .

a2. Tính giá trị của P khi

2 2 2 2 2025 2024 1 1 2025 2024 2024 x + + + − = và 12 y 22 2024 = .

b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 2 a b c a b b c c a < + + < + + +

Câu 3. (4 điểm)

a) Anh Bình cần rút tiền trong thẻ ATM để chi tiêu cá nhân nhưng lại quên mật khẩu đăng nhập tài khoản. Biết rằng mật khẩu là một số chính phương A có bốn chữ số, nếu bớt đi mỗi chữ số của số A một đơn vị thì được số mới là số chính phương có bốn chữ số. Em hãy giúp anh Bình tìm lại mật khẩu đã quên.

b) Giải hệ phương trình : 3 3 2 2 ( ) 2

6 8

xy x y

x y x y

+ =   + + =  .

Câu 4. (5 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK, MN.

a) Chứng minh: BCHK là tứ giác nội tiếp.

b) Tính AH.AK theo R.

c) Xác định vị trí điểm K để KM + KN + KB lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

Câu 5. (3 điểm)

a) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 900. Từ B kẻ BM vuông góc với

AC tại M (điểm M thuộc AC). Chứng minh rằng

2 1 2 AM AB MC BC   + =    

b) Tính diện tích của hình vuông lớn nhất, biết diện tích hình vuông bé nhất là 124 cm2 (hình bên).

--- Hết ---

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Đề chính thức

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ VĨNH CHÂU KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2024-2025 MÔN TOÁN 9

HƯỚNG DẪN CHẤM

Dưới đây là chi tiết biểu điểm của đề thi HSG môn Toán 9. Các Giám khảo thảo luận thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày (nếu có).

Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác.

Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác thì bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó.

Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Câu Đáp án Điểm 1a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ,x y thỏa mãn: ( ) 2 2 2 3x 29. x y y − + + = 2,0

Ta có: ( ) 2 2 2 3x 29. x y y − + + =

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 9 2 1 8 29 3 1 37 x x y y x y + + − − + − = ⇔ + − − =

( )( ) 4 2 37 x y x y − + + + = (Vì 37 = 1.37 = (-1).(-37))

0,5

Ta có bảng

4 x y − + 1 37 1 − 37 − 2 x y + + 37 1 37 − 1 − x 16 16 22 − 22 − y 19 17 − 17 − 19

1,0

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên ( ) ;x y là ( ) ( ) ( ) ( ) 16;19 , 16; 17 , 22; 17 , 22;19 − − − − . 0,5

1b)

Đội văn nghệ của lớp 9A có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Cô giáo phụ trách đội chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố T: “Trong hai bạn được chọn ra có một bạn nam và một bạn nữ”.

2,0

Gọi 3 bạn nam lần lượt là 1, 2, 3

Gọi 4 bạn nữ lần lượt là a, b, c, d

Kết quả có thể của phép thử là cặp (X, Y) sao cho X Y ≠ . Vì chọn đồng thời 2 bạn nên loại trừ các trường hợp trùng nhau. Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { 1,2 ; 1,3 ; 1, ; 1, ; 1, ; 1, ; a b c d Ω= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,3 ; 2, ; 2, ; 2, ; 2; ; a b c d

( ) ( ) ( ) ( ) 3, ; 3, ; 3, ; 3, ; a b c d ( ) ( ) ( ) , ; , ; , ; a b a c a d ( ) ( ) , ; , ; b c b d ( )} ,c d

Tập Ω có 21 phần tử

1,0

Vì chọn ngẫu nhiên nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Có 12 kết quả thuận lợi chon biến cố T: “Trong hai bạn được chọn ra có một bạn nam và một bạn nữ” là:

( ) ( ) ( ) ( ) { 1, ; 1, ; 1, ; 1, ; a b c d ( ) ( ) ( ) ( ) 2, ; 2, ; 2, ; 2; ; a b c d

( ) ( ) ( ) ( ) 3, …