Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 - 2025 sở GDĐT Thanh Hóa

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 - 2025

MÔN THI: TOÁN - THCS. Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề. (Đề thi có 02 trang, gồm 10 câu).

Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn biểu thức:

2 2

2 2 2 2 a b a b a b A a b a b a b a b a b

  − − + = + ⋅     − + + − − + −  

(với 0 a b > > ).

Câu 2 (2,0 điểm). Cho ,a b là các số thực dương phân biệt thỏa mãn:

8 4 2

8 8 4 4 2 2 8 4 2 4 b b b b a b a b a b a b + + + = − + + + và 2 2 2025 a b = + .

Tính giá trị biểu thức: 2 ( 10) 2000 P a b = − − + .

Câu 3 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình:

( ) 2 2 13 1 9 2 16

3 2 1

x y x

x x x y x x y

 −+ + =  + − + = + + + 

.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 . Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau viết được từ các chữ số nói trên. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập hợp X . Tính xác suất của biến cố A: “Số lấy ra là số lớn hơn 59000” . Câu 5 (2,0 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

( ) ( ) 2 2 2x 2 7 2 1 y x y y − − = − − − .

Câu 6 ( 2,0 điểm). Cho số tự nhiên 2 n ≥ và số nguyên tố p . Chứng minh rằng nếu

1 p − chia hết cho n và 6 1 n − chia hết cho p thì ít nhất một trong hai số p n − và p n + là số chính phương. Câu 7 (1,5 điểm). Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m đặt vuông góc với mặt đất tại hai vị trí A và B . Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta đặt một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất, nằm giữa hai chân cọc để giăng dây nối đến hai đỉnh

C và D của hai cọc (như hình vẽ). Hỏi người ta phải đặt chốt ở vị trí cách A một khoảng bằng bao nhiêu trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

Trang 2

Câu 8 (3,5 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O , ba đường cao

, , AD BF CE cắt nhau tại H , vẽ ( ) OK BC K BC ⊥ ∈ . Gọi I là trung điểm của AH , gọi J là giao điểm của AH và EF , kẻ đường kính AP của đường tròn ( ) O .

a. Chứng minh: 1 2 OK AH = và IK đi qua trung điểm của EF .

b. Đường thẳng qua B song song với AC cắt đường thẳng CE tại S . Chứng minh: 2 . IF IJ ID = và / / KS CJ . Câu 9 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba cạnh tiếp xúc với đường tròn ( ) I . Gọi

, E F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( ) I với AC và AB . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của BC và AC . Chứng minh ba đường thẳng , , BI MN EF đồng quy. Câu 10 (1,5 điểm). Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn: ( ) 3 xyz x y z + + = .

Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 5 1 2 4 2 4 2 4 243 x y z x x y y z z + + ≤ − + − + − + .

------------------------ HẾT ------------------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:.................................................

Chữ ký của Giám thị 1:.....................................; Chữ ký của Giám thị 2:.................................

Trang 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 - 2025

ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM CHẤM

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THCS. (Hướng dẫn chấm gồm 10 trang).

Câu Nội dung đáp án Điểm Câu 1

Rút gọn biểu thức:

2 2

2 2 2 2 a b a b a b A a b a b a b a b a b

  − − + = + ⋅     − + + − − + −  

(với 0 a b > > ).

2,0

Với 0 a b > > , ta có:

2 2

2 2 2 2 a b a b a b A a b a b a b a b a b

  − − + = + ⋅     − + + − − + −  

( )( )

2 2

2 2 ( )

a b a b a b A a b a b a b a b a b a b

  − − +   = + ⋅ − + +   − + − − −  

0,25

2 2

2 2 a b a b a b A a b a b a b a b a b

  − − + = + ⋅     − + + + − − −  

0,25

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b

  − + − − − + + − +   = + ⋅   + − − + − − −  

0,25

2 2 2 2 2 2

2 2 2 a b a b a b a b a b A b a b

− − + + − + − + = ⋅ −

0,5

2 2 2 2

2 2 2 2 a b a b A b a b

− + = ⋅ −

0,25

2 2 a b A b + = 0,25

Vậy

2 2 a b A b + = với 0 a b > > . 0,25

Câu 2

Cho ,a b là các số thực dương phân biệt thỏa mãn:

8 4 2

8 8 4 4 …