Các dạng toán hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 1.

Chương IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 11. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho góc nhọn α . Xét tam giác ABC vuông tại A , có góc nhọn bằng α (hình vẽ bên). Ta có:

I. Định nghĩa

AC sin BC α = (tỉ số giữa cạnh đối và cạnh

huyền) .

AB cos BC α = (tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền)

AC tan AB α = (tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề)

AB cot AC α = (ti số giữa cạnh kề và cạnh đối)

Chú ý: 0 sin 1;0 cos 1 α α < < < < .

II. Tỉ số lượng giác cưa hai góc phụ nhau

( ) sin 90 cos α α °− = ( ) cos 90 sin α α °− =

( ) tan 90 cot α α °− = ( ) cot 90 tan α α °− =

B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP

I. Tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Bài toán 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , có 6 cm, 8 cm AB AC = = . Hãy tính các tỉ số lượng giác

sin ,cos ,tan ,cot α α α α với B α = .

Lời giải

Xét ABC ∆ vuông tại A co  ( ) B gt α =

Theo định lí Pythagore, ta có:

2 2 2 2 2 6 8 100 10( cm) BC AB AC BC = + = + = ⇒ =

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot, ta có:

8 4 sin ; 10 5 AC BC α = = = 6 3 cos ; 10 5 AB BC α = = =

8 4 tan ; 6 3 AC AB α = = = 6 3 cot . 8 4 AB AC α = = =

Bài toán 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có 12, AB = 9, AC = 15. BC = Tính các tỉ số lượng giác

sin , α cos , α tan , α cotα với . B α =

Lời giải

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 2.

Xét ABC ∆ vuông tại A có B α = (GT)

Ta có: 9 3 sin ; 15 5 AC BC α = = = 12 4 cos ; 15 5 AB BC α = = =

9 3 tan ; 12 4 AC AB α = = = 12 4 cot . 9 3 AB AC α = = =

Bài toán 3. Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại điểm O (hình vẽ bên).

a) Tỉ số OB AB là sin của góc nhọn nào?

Tỉ số OB BC là cos của góc nhọn nào?

b) Viết tỉ số lượng giác của mỗi góc nhọn sau:  tan , OCD  cot . OAD

Lời giải

Ta có ABCD là hình thoi (GT) nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O .

a) Xét OAB ∆ vuông tại O nên tỉ số  sin . OB BAO AB =

Tương tự OCB ∆ vuông tại O nên tỉ số  cos . OB CBO BC =

b) Xét OCD ∆ vuông tại O nên tỉ số  tan . OD OCD OC =

Tương tự OAD ∆ vuông tại O nên tỉ số  cot . OA OAD OD =

Bài toán 4. Cho tam giác ABC vuông tại , B có 10, AB = 6 BC = và góc nhọn A β = . Tính các tỉ số

lượng giác của góc nhọn . β

Lời giải

C

B A

α

15 9

12

O

D

C

B

A

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9

Trang: 3.

Xét ABC ∆ vuông tại B có B α = (GT).

Theo định lí Pythagore, ta có:

( ) ( )

2 2 2 2 2 6 10 16 AC BC AB = + = + =

4 AC ⇒ =

Theo định lí của tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot.

Ta có: 6 sin ; 4 BC AC β = = 10 cos ; 4 AB AC β = =

6 tan ; 10

BC AB β = = 10 cot . 6

AB BC β = =

Bài toán 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại , A có cạnh góc vuông bằng .a Tính độ dài cạnh huyền

BC theo a rồi tính:

* Các tỉ số , . AB AC BC BC Từ đó suy ra sin 45 , os45 . c ° °

* Các tỉ số , . AB AC AC AB Từ đó suy ra tan 45 , ot45 . c ° °

Lời giải

Xét ABC ∆ vuông cân tại A (GT)

Theo định lí Pythagore, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2. BC AB AC a a a BC a = + = + = ⇒ =

* Tỉ số 1 2 2 2 2

AB a BC a = = = hay 2 sin 2 C = .

Tương tự tỉ số 2 cosC 2 AC BC = =

Vậy 2 sin 45 cos45 = . 2 ° = °

10

6

4

β

A B

C

45°

45°

a

a

C

B

A