Chuyên đề đường tròn Toán 9 Chân Trời Sáng Tạo

Chương 5. ĐƯỜNG TRÒN

359

ĐƯỜNG TRÒN5 Chûúng

ĐƯỜNG TRÒN

ĐƯỜNG TRÒN 1 Baâi

A A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1 Đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu là (O; R), là hình gồm tất cảcác điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

o ○Khi không cần đểý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).

○Nếu A là một điểm của đường tròn (O) ta viết A ∈(O). Khi đó, ta còn nói đường tròn (O) đi qua điểm A, hay điểm A nằm trên đường tròn (O).

d Nhận xét.

○Trên mặt phẳng cho đường tròn (O; R) và điểm M.

Khi đó, ta có các trường hợp sau có thểxảy ra

— Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu OM = R.

— Điểm M nằm trong đường tròn (O; R) nếu OM < R.

— Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OM > R.

○Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O; R).

R

O

M

M

M

o Đoạn thẳng AB trong hình bên được gọi là đường kính của đường tròn O.

O A B

2 Tính đối xứng của đường tròn

○Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.

○Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

o Đường tròn có một tâm đối xứng nhưng có vô sốtrục đối xứng.

359/476

1. ĐƯỜNG TRÒN

360

3 Dây và đường kính của đường tròn

○Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn.

○Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Dễthấy đường kính của đường tròn bán kính R có độdài bằng 2R.

Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

4 Hai đường tròn cắt nhau

Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm của chúng.

d Nhận xét. Hai đường tròn (O; R) và (O′; R′) cắt nhau khi

R −R′ < OO′ < R + R′ với R > R′ .

O O′

A

B

5 Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng.

o Người ta phân biệt hai trường hợp: hai đường tròn tiếp xúc ngoài (Hình a) và hai đường tròn tiếp xúc trong (Hình b).

O O′ A

Hình a)

O O′ A

Hình b)

d Nhận xét.

○Hai đường tròn (O; R) và (O′; R′) tiếp xúc ngoài khi OO′ = R + R′ và tiếp xúc trong khi OO′ = R −R′ với R > R′ .

○Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.

6 Hai đường tròn không giao nhau

Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau.

o Người ta phân biệt hai trường hợp: hai đường tròn ngoài nhau (Hình a) và đường tròn này đựng đường tròn kia (Hình b).

360/476

Chương 5. ĐƯỜNG TRÒN

361

O O′

Hình a)

O O′

Hình a)

d Nhận xét.

○Hai đường tròn (O; R) và (O′; R′) ngoài nhau khi OO′ > R + R′.

○Đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O′; R′) khi R > R′ và OO′ < R −R′. Đặc biệt khi O trùng với O′ và R ̸= R′ thì ta có hai đường tròn đồng tâm.

Ta có bảng tổng kết sau

Vịtrí tương đối của(O; R) và (O; R′) (R ≥R′) Sốđiểm chung Hệthức giữa OO′ với R và R′

(O) và (O′) cắt nhau 2 R −R′ < OO′ < R + R′

(O) và (O′) tiếp xúc ngoài 1 OO′ = R + R′

(O) và (O′) tiếp xúc trong 1 OO′ = R −R′ > 0

(O) và (O′) ởngoài nhau 0 OO′ > R + R′

(O) đựng (O′) 0 OO′ < R −R′

A B CÁC DẠNG BÀI TẬP

| Dạng 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

c Ví dụ1. Cho hình chữnhật ABCD có AB = a, BC = b. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Ê Lời giải. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Theo tính chất hai đường

chéo của hình chữnhật, ta có OA = OB = OC = OD Å = 1

2AC = 1

2BD ã .

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc Å O; 1

2AC ã .

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + b2.

Do đó R = 1

2AC = 1

2

√

a2 + b2.

A B

O

D C

a

b

□

c Ví dụ2. Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Trên cạnh AC lấy điểm M. Kẻtia Cx vuông góc với tia BM tại F. Chứng minh rằng năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Ê Lời giải.

361/476