Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2024 - 2025 cụm chuyên môn số 1 Nga Sơn - Thanh Hóa

PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN

CỤM AN-PHÚ-THÁI-ĐIỀN

(Đề thi gồm có 02 trang)

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8

NĂM HỌC 2024- 2025

Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 20/02/2025 Câu 1. ( 4,0 điểm)

1) Thực hiện phép tính:

a)

12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 6 4 5 3 9 3 (2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 . − − − + +

b) 7 7 7 7 1 1 1 ... 1 9 20 33 2900       + + + +            

2) Cho > , , 0 a b c và dãy tỉ số: + − − + + − = = 2 2 2 b c a c b a a b c a b c .

Tính: ( )( )( ) ( )( )( )

− − − = − − −

3 2 3 2 3 2

3 3 3

a b b c c a P a c b a c b

Câu 2. ( 4,0 điểm) 1) Tìm x biết: 2 2 3 2 x x x − − + − = −

2) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số lớn hơn 40. Tìm số phần tử của tập hợp M gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số tự nhiên được viết ra. Sau đó, hãy tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9. b) Số tự nhiên được viết ra là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp. Câu 3. ( 4,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì 1 p − và 1 p + không thể là các số chính phương b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn: 2xy + 6x2 – y – 3x = 7

Câu 4 (1,5 điểm) Một ngôi nhà có các kích thước như hình vẽ. Tính thể tích phần không gian được giới hạn bởi ngôi nhà.

Câu 5. (5,0 điểm) Cho ABC ∆ vuông tại A ( ) AB AC < . Gọi M là trung điểm của cạnh

BC , lấy điểm D thuộc tia đối của tia MA sao cho MD MA = . Kẻ BI vuông góc với AD tại I , CK vuông góc với AD tại K . a) Chứng minh rằng BI CK = .

b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H , MN vuông góc với BD tại N . Chứng minh rằng các đường thẳng , , CK AH MN đồng quy. c) Chứng minh rằng BC AB AC AH − > − . Câu 6. (1,5 điểm)

Chứng minh rằng trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 50.

........................Hết................

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7

Câu ý Nội dung Điểm

1

1 (2đ)

a)Ta có :

12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 6 4 5 3 9 3 (2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 − − − + +

=

12 5 12 4 10 3 10 4 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2

− − − + +

( )

( )

( )

( )

12 4 10 3 2 .3 3 1 5 .7 1 7 12 5 9 3 2 .3 3 1 5 .7 1 8

− − = − + +

( ) 5. 6 1 21 7 6 9 6 2 − = − = = ⋅

0,25

0,5

0,25

b) 7 7 7 7 16 27 40 2907 1 1 1 ... 1 . . ... 9 20 33 2900 9 20 33 2900                   + + + + =

2.8.3.9.4.10...51.57 2.3.4...51 8.9.10...57 . 1.9.2.10.3.11...50.58 1.2.3...50 9.10.11...58 51.8 204 58 29

= =

= =

0,25

0,5

0,25

2 (2đ)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có:

( ) ( ) ( )

( )

+ − −+ + − = =

+ − + −+ + + − = + + + + = = + +

2 2 2

2 2 2

2 2

b c a c b a a b c a b c b c a c b a a b c a b c a b c a b c

Vì > => + + > , , 0 0 a b c a b c

         

+ = − = => + = => − = + = − =

2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2

b c a a b c c a b b c a a b c c a b

và

  

−= − = − =

3 2 3 2 3 2

a c b b a c c b a

Thay vào biều thức P, ta được: = 1 8 P

0,5

0,5 0,5

0,5

2 1 (2đ)

2 2 3 2 x x x − − + − = − ( 1) Lập bảng xét dấu ta có:

x - 3/2 2 x-2 - / - 0 + 2x+3 - 0 + / + Khi đó ta có :

TH1 : 3 2 x − ≤ . Khi đó (1) trở thành

( ) ( ) 2 2 3 2 0 7 x x x x − −− − − = −⇒ = − .

0,5