Đề KSCL học sinh giỏi Toán 8 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Kiến Xương - Thái Bình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIẾN XƯƠNG

===***===

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2024 – 2025

MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức

 

2 2 2

2 3 3 x 1 1 2x 4x 1 x x P : x x 1 x 1 x 1 x 8x

                   

với x 0;x 1  

1) Rút gọn biểu thức P. Tìm x để P = 8. 2) Giả sử x 0;x 1  . So sánh giá trị của biểu thức P và 4. Bài 2 (4,5 điểm). 1) Tính giá trị của biểu thức:

      2 2 5 5 8 2 4 A x y x y x x          tại

2025 10 1 y  .

2) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:    2 2 4 4 20 B x y y x xy     .

3) Tìm đa thức f(x) biết đa thức f(x) chia cho (x – 2) dư 5; f(x) chia cho (x – 3) dư 7 và f(x) chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là x2 - 1 và còn dư. Bài 3 (4,5 điểm).

1) Trong một hộp kín có 6 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, các viên bi có kích thước, khối lượng và hình dạng như nhau chỉ khác màu sắc. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp. a) Tính xác suất của biến cố E: “Lấy được viên bi màu đỏ”. b) Thêm vào hộp một số viên bi màu đỏ, màu xanh sao cho xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi. Cần thêm ít nhất bao nhiêu viên bi mỗi màu? 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = (m – 2)x - 2 (với m 2) a) Giả sử d cắt trục Ox; Oy lần lượt tại A; B. Tìm m để AB = 2 2 . b) Tìm điểm cố định mà tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua khi giá trị của m thay đổi. Bài 4 (6 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Kẻ EK vuông góc với AC tại K, DI vuông góc với EC tại I. Chứng minh:

1) CH.CE = CD.CA 2) IK vuông góc với BC.

3) Tam giác EIK đồng dạng tam giác ABC và EIK ABC 1 S S 4   

Bài 5 (1 điểm). Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn: a + b + 1 là một ước nguyên tố của 2(a2 + b2) - 1 Chứng minh rằng a.b là một số chính phương. Họ và tên thí sinh:....................................................SBD:........

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIẾN XƯƠNG

===***===

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG

NĂM HỌC 2024 – 2025

MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức

 

2 2 2

2 3 3 x 1 1 2x 4x 1 x x P : x x 1 x 1 x 1 x 8x

                   

với x 0;x 1  

1) Rút gọn biểu thức P. Tìm x để P = 8. 2) Giả sử x 0;x 1  . So sánh giá trị của biểu thức P và 4.

Câu Đáp án Điểm

Câu 1

(3đ)

 

2 2 2

2 3 3 x 1 1 2x 4x 1 x x P : x x 1 x 1 x 1 x 8x

                   

với x 0;x 1   2,0đ

 

  

   

2 2

2 2 2 x 1 x x 1 1 2x 4x 1 P : x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 8

                            

3 2 2

2 2 x 1 1 2x 4x x x 1 x 1 P : x 8 x 1 x x 1

            

0,5

  

3 2 2 2 2

2 x 3x 3x 1 1 2x 4x x x 1 x 8 P . x 1 x 1 x x 1             

0,5

  

3 2

2 x 1 x 8 P . x 1 x 1 x x 1       

0,5

2 x 8 P x 1   

Vậy với x 0;x 1   thì

2 x 8 P x 1   

0,5

1,0đ

b) Ta có:

2 x 8 P x 1   

với x 0;x 1  

Để P = 8 thì

2 x 8 8 x 1   

Suy ra 2 x 8 8x 8   

0,25

2 x 8x 0  

 

x 0 x 0 x x 8 0 x 8 0 x 8               

   

không tmđk

tmđk

0,5

Vậy với x = 8 thì P = 8 0,25

Câu 2 1đ + Ta có:

2 x 8 P x 1   

với x 0;x 1  

+ Với x 0;x 1  , Xét P – 4 ta có: