Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Chí Linh - Hải Dương

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

Năm học 2024-2025

Môn: TOÁN - LỚP 8

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề này gồm 06 câu, 01 trang)

Câu 1: (2,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức:

2 3 3

2 2 5 4 4 5 : x y x y A x y x y x x y xy y   − = +   − − − − +  

với ; x y x y ≠ ≠−

2) Cho     2 2 2025 a b c b c a     với , , a b c đôi một khác nhau và khác 0.

Tính giá trị của biểu thức   2c a b  .

Câu 2: (2,0 điểm). 1) Giải phương trình: 2 (3 1)( 1) (3 7) 7 0 x x x + − − + =

2) Biết rằng đa thức ( ) f x chia cho 2 x − dư 11, chia cho 2 x + dư ( ) 1 − , chia cho 2 4 x −

được thương là 3x và còn dư. Tính (2025) ( 2025) f f + − . Câu 3: (2,0 điểm).

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 y x y x + + = +

2) Tìm các số tự nhiên n để ( ) 2 2 8 36 n − + là số nguyên tố.

Câu 4: (2,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi AD là tia phân giác của góc BAC. Từ D kẻ DM ⊥ AB, DN ⊥ AC (M ∈ AB, N∈ AC). Gọi E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN.

1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF // BC

2) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆NFA.

3) Gọi P là điểm trên đoạn thẳng AN, Q là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho

AP = MQ. Tìm vị trí của P và Q để diện tích tứ giác MQPN đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5: (0,5 điểm). Cho 33 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong tam giác đều có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba

đỉnh là ba điểm trong 33 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn 1 16 .

Câu 6: (1,0 điểm).

Cho hai số a, b ≠0 thỏa mãn

2 2 2 b 1 2a 4 4 a + + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức Q ab 2024 = + .

------------Hết------------ (Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU

HỌC SINH GIỎI

Năm học 2024-2025

Môn: TOÁN - LỚP 8

(Hướng dẫn này gồm 06 câu, 06 trang)

Câu Ý Đáp án Điểm

1

1

2 3 3

2 2 5 4 4 5 : x y x y A x y x y x x y xy y   − = +   − − − − +  

với ; x y x y ≠ ≠−

2 3 3

2 2 5 4 4 5

2 5 4 4 5

2 2

2 4 4

2 2

2 2 4 4

:

( ) ( ) . ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) . ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) . ( )( ) ( )

x y x y A x y x y x x y xy y

x y x x y xy y x y x y x y x y x xy y

x y x y x x y y x y x y x y x y x y x y x xy y

x xy y x y x y x y x y x y

  − = +   − − − − +  

  − − − = +   − + − − + +  

  + − − − = +   − + − + − + +   + + − − = − + − 2 2 ( ) x xy y + +

0.25

2 2 2 2 2

2 2 ( )( ) . ( )( ) ( )( ) x xy y x y x y x y x y x y x xy y + + + − = − + − + +

0.25

2 2 x y = + 0.25

2 2 A x y = + với ; x y x y ≠ ≠− 0.25

2

Ta có

( ) ( ) 2 2

2 2 2 2 0 ( ) (a b)(a b) 0 (a b)(ab bc ca) 0

a b c b c a

a b a c b c ab ab a b c

+ = +

+ − − = − + − + = − + + =

Mà a b 0 − ≠ , suy ra:

( ) ( ) 2

0

2025 (1)

ab bc ca

bc a b c

abc a b c

+ + =

= − +

− = + =

0.25

0.25

( ) ( ) 2

0

.(2)

ab bc ca

ab c a b

abc c a b

+ + =

= − +

− = +

Từ (1) và (2) ta được ( ) 2 2025. c a b + =

0.25

0.25

2 1

2 (3 1)( 1) (3 7) 7 0 x x x + − − + =

Nhân 2 vế của phương trình với 9 ta được

2 (3 1)(3 3) (3 7) 63 0 x x x + − − + =

2 2 (9 18 7)(9 18 9) 63 0 x x x x − − − + + =

Đặt 2 9 18 7 y x x = − − ta được

( 16) 63 0 y y + + =

2 16 63 0 y y + + =

( 7)( 9) 0 y y + + =

??= −7 hoặc ??= −9

Trường hợp 1 : 7 y = −

2 9 18 7 7 x x − − = −

2 9 18 0 x x − =

??= 0 hoặc ??= 2

Trường hợp 2: 9 y = −

2 9 18 7 9 x x − − = −

2 9( 1) 7 x − =

3 7 3 x + = hoặc 3 7 3 x − =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ??= 0; ??= 2; 3 7 3 x + = ;

3 7 3 x − =

0.25

0.25

0.25

0.25

2 ( ) f x chia cho 2 x − dư 11 ( ) ( ) 2 . ( ) 11 suy ra f x x P x = − + (2) 11 suy ra f =