Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 - 2025 sở GDĐT Sóc Trăng

2 x x − 4 x + 3

2 − x

x −1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

S ÓC TRĂNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

Năm học 2024-2025

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)

Đề thi này có 01 trang

Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = + + với x ≥ 0 và x ≠ 1, x ≠ 9.

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho P nhận giá trị là số chẵn. Bài 2: (4,0 điểm)

a) Một con ếch đang ở giữa một bảng có 5× 5 ô vuông được tô hai màu trắng và đen (như hình vẽ). Mỗi bước nhảy con ếch nhảy sang một ô khác có chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô trước đó. Tính xác suất sau hai bước nhảy con ếch ở ô màu đen.

b) Tìm tất cả các số nguyên

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

x, y thoả mãn

ቊඥ3??+ 2??+ 5 −ඥ??+ ??= 2 4??+ 3??= 5

x ( x + 2)(2x +1)(2x + 5) = y2. .

b) Trên một cánh đồng trống tiếp giáp với một bờ sông, người nông dân dự định rào lại cánh đồng hình chữ nhật để trồng cây với diện tích cần rào là 180 000 m2 và không cần rào phía giáp bờ sông. Người nông dân cần chọn các kích thước cần rào như thế nào để độ dài của hàng rào là nhỏ nhất?

Bài 4: (4,0 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′) cắt nhau tại A và B ( R > R′). Vẽ hai tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó, chúng cắt nhau ở S. Gọi C và M là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O; R), D là tiếp điểm của tiếp tuyến SC với (O′; R′) (ba điểm A, C và D thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ SO ). Gọi F là giao điểm của tia BA với CD.

a) Chứng minh FC 2 = FA.FB.

b) Tia SA cắt (O; R) tại E, SO cắt CM tại H. Chứng minh tứ giác AHOE nội tiếp.

c) Chứng minh ADC = CAE. Bài 5: (4,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, ngoại tiếp đường tròn tâm I. Tia AI cắt BC

tại A1 và cắt đường tròn (O) tại A2. Tương tự, lần lượt ta thu được các điểm B1, B2 và C1, C2. Chứng

minh rằng A2 B = A2C = A2 I và A2 B + A2C + B2 A + B2C + C2 A + C2 B ≥ 12.

A1 A2 B1B2 C1C2 b) Trên bàn có 2026 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 2026. Hai bạn An và Bình tiến hành trò chơi bằng cách thay phiên nhau lấy thẻ, đến lượt chơi mỗi bạn sẽ lấy một thẻ cho đến khi hết tấm thẻ trên bàn. Sau đó mỗi người cộng số trên các thẻ mà mình có, ai ra số chẵn sẽ thắng. Nếu An chơi trước thì bạn nào có chiến thuật để luôn thắng và chiến thuật đó như thế nào?

------ Hết ------ Họ tên thí sinh: .................................................................. Số báo danh: ……………………. Chữ ký của Giám thị 1: .....................................; Chữ ký của Giám thị 2: …...........................

2 x − 5

x − 3

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SÓC TRĂNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

Năm học 2024-2025

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Hướng dẫn chấm này có 05 trang)

Bài Đáp án Điểm

Cho biểu thức P = 2 x + 2 − x + 2 x − 5 với x ≥ 0 và x ≠ 1, x ≠ 9. 4,0 x − 4 x + 3 x −1 x − 3 a) Rút gọn biểu thức P. 3,0 2 x 2 − x 2 x − 5 P = ( x −1)( x − 3) + x −1 + x − 3

2 x + (2 − x )( x − 3) + (2 x − 5)( x −1) P = ( x −1)( x − 3)

P = 2 x − x + 5 x − 6 + 2x − 7 x + 5

( x −1)( x − 3) x −1 P = ( x −1)( x − 3)

( x −1)( x + 1) P = ( x −1)( x − 3)

P = x +1 . x − 3

3,0

1

b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho P nhận giá trị là số chẵn. 1,0

P = x − 3 + 4 =1+ 4 0,25 x − 3 x − 3

P nhận giá trị là số chẵn khi x − 3 là ước số của 4. Ta có các trường hợp sau:

+ x − 3 = 4 hay x = 49

+ x − 3 = −4 hay x = −1 (vô nghiệm)

+ x − 3 = 2 hay x = 25 0,5

+ x − 3 = −2 hay x =1 (loại)

+ x − 3 =1 hay x = 16

+ x − 3 = −1 hay x = 4 Thử lại ta thấy P nhận giá trị là số chẵn khi x = 49. 0,25