Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 xã Giai Lạc - Nghệ An

ỦY BAN NHÂN DÂN XÃ GIAI LẠC

HỘI ĐỒNG THI HSG CẤP XÃ, LỚP 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 – 2026 ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu với nhau. Mỗi đối thủ của đội

trường A lần lượt gặp hết các đối thủ của đội trường B một lượt. Biết tổng số trận đấu gấp

đôi tổng số đối thủ của hai đội. Tính số đối thủ của trường A và trường B.

b) Cho hai số nguyên ,x y thỏa mãn

2 2 1 2( ) x y xy x y + + = + + . Chứng minh rằng x và y là hai

số chính phương liên tiếp.

Câu 2 (6,0 điểm).

a) Giải phương trình

3 2 11 6( 1). x x x + = +

b) Giải hệ phương trình

2

2 2 ( 3 ) 2

2 9.

x x y y

x y

 − = −  + = 

Câu 3 (3,0 điểm).

a) Bác Hùng có 100 m hàng rào và muốn rào lại một phần cánh đồng để được một mãnh vườn

có dạng là một hình chữ nhật. Biết mãnh vườn này có một cạnh tiếp giáp với một con sông ( phần

tiếp giáp với con sông không rào). Hỏi bác Hùng rào được mãnh vườn hình chữ nhật trên có diện

tích lớn nhất là bao nhiêu?

b) Có hai hộp bút chì màu. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ

hai có 8 bút chì màu đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác

suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là bao nhiêu.

Câu 4 (7,0 điểm). Cho đoạn thẳng AB, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax,By

vuông góc với AB. Trên AB lấy điểm O cố định ( ) O A,O B ≠ ≠ . Trên các tia Ax,By lần lượt lấy

các điểm E,F sao cho góc  0 EOF 90 = .

a) Chứng minh rằng AE.BF OA.OB. =

b) Vẽ OH vuông góc với ( ) EF H EF ∈ . Chứng minh rằng  0 AHB = 90 .

c) Tìm vị trí các điểm E,F để diện tích tam giác OEF đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1,0 điểm). Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc

đỏ. Chứng minh tồn tại bốn điểm ở trên tạo tành một hình chữ nhật có các đỉnh cùng màu.

……………HẾT……………

Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh…………………

ỦY BAN NHÂN DÂN XÃ GIAI LẠC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 – 2026

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN 9 ( Hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang)

Câu Đáp án Điểm

Câu 1a

(1,5 đ)

Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu với nhau. Mỗi đối thủ của đội

trường A lần lượt gặp hết các đối thủ của đội trường B một lượt. Biết tổng số trận đấu

gấp đôi tổng số đối thủ của hai đội. Tính số đối thủ của trường A và trường B.

Gọi ,a b lần lượt là số đối thủ của hai đội trường A và B

* ( , ) a b N ∈ Theo bài ra , ta có: 2( ) ab a b = +

0,5

( 2)( 2) 4 a b ⇒ − − = 0,5

( 2),( 2) (4) a b U ⇒ − − =

Giải ra ta có 4, 4 a b = = ; 3, 6 a b = = và 6, 3 a b = =

Vậy số đối thủ trường A và trường B là:

+ 4 đối thủ và 4 đối thủ

+ 3 đối thủ và 6 đối thủ và ngược lại

0,5

Câu 1b

(1,5 đ)

Cho hai số nguyên ,x y thỏa mãn

2 2 1 2( ) x y xy x y + + = + + . Chứng minh rằng x và y là hai số chính phương liên tiếp.

Ta có 2 2 x y 1 2(xy x y) + + = + + ( ) 2 x y 1 4x ⇒ − + = 0,5

Do x, y nguyên, suy ra x là số chính phương 0,5

Đặt 2 x m (m Z) = ∈ ( ) 2 2 2 m y 1 4m ⇒ − + =

2 m y 1 2m ⇒ − + = ( ) 2 y m 1 ⇒ = −

Hoặc 2 m y 1 2m ⇒ − + = − ( ) 2 y m 1 ⇒ = +

Vậy x và y là hai số chính phương liên tiếp.

0,5

Câu 2a

(3,0 đ)

Giải phương trình

3 2 11 6( 1). x x x + = +

3 2 3 2 2 6 11 6 0 ( ) (5 5 ) (6 6) 0 x x x x x x x x ⇒ − + − = ⇒ − − − + − = 0,5

2( 1) 5 ( 1) 6( 1) 0 x x x x x ⇒ − − − + − =

2 ( 11)( 5 6) 0 x x x ⇒ − − + = 1,0

( 11)( 2)( 3) 0 x x x ⇒ − − − = 1,0