Toán thực tế dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Toán 11

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Câu 1: Gọi nu là tổng diện tích các hình vuông có ở hàng thứ n trong Hình (mỗi ô vuông nhỏ là 1 đơn

vị diện tích).

a) Tính 1 2 3 4 , , , u u u u .

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát của dãy số ( ) nu .

Giải

a) 1 2 3 4 1; 8; 27; 64 u u u u = = = = .

b) Ta có: 3 3 3 3 1 2 3 4 1 ; 2 ; 3 ; 4 u u u u = = = = . Do đó, dự đoán 3 nu n = .

Câu 2: Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có

độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển?

Giải

Kí hiệu nu là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n .

Khi đó, dãy số ( ) nu là một cấp số cộng với 1 950 u = và 1,5 d = .

CHƯƠNG

II

DÃY SỐ

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

Ta có 12 1 11 950 11.1,5 966,5 u u d = + = + = .

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao 966,5 m so với mực nước biển.

Câu 3: Bác Tư vào làm cho một công ty với hợp đồng về tiền lương mỗi năm như sau: Năm thứ nhất: 240 triệu; Từ năm thứ hai trở đi: Mỗi năm tăng thêm 12 triệu.

Tính số tiền lương một năm của bác Tư vào năm thứ 11.

Lời giải

Gọi nu là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ n .

Khi đó, dãy số ( ) nu tạo thành cấp số cộng có 1 240 u = và 12 d = .

Ta có 11 1 10 240 10 12 360 u u d = + = + ⋅ = .

Vậy vào năm thứ 11, số tiền lương một năm của bác Tư là 360 triệu đồng.

Câu 4: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, số ghế ở các hàng sau đều hơn số ghế hàng ngay trước đó một ghế. Cho biết rạp hát đã bán hết vé với giá mỗi vé là 60 nghìn đồng. Tính tổng số tiền vé thu được của rạp hát.

Lời giải

Gọi nu là số ghế ở hàng thứ n .

Khi đó, dãy số ( ) nu tạo thành cấp số cộng với 1 20 u = và 1 d = .

Tổng số ghế có trong rạp hát là: 20 20 [2 20 (20 1) 1] 590 2 S ⋅ ⋅ + − ⋅ = = (ghế).

Tổng số tiền vé thu được là: 590.60000 35400000 = (đồng).

Câu 5: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong ống nghiệm, cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Nếu ban đầu có 200 vi khuẩn, tính số lượng vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 2 giờ.

Giải

Ta có: 2 giờ 120 = phút 6.20 = phút. Do đó, sau 2 giờ vi khuẩn phân đôi 6 lần.

Gọi nu là số lượng vi khuẩn có trong ống nghiệm sau lần phân đôi thứ 1 n −.

Khi đó, dãy số ( ) nu là một cấp số nhân với 1 200 u = và 2 q = .

Ta có

6 6 7 1 200 2 12800 u u q = ⋅ = ⋅ = .

Vậy sau 2 giờ, trong ống nghiệm có 12800 vi khuẩn.

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

Câu 6: Bác Năm gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100 triệu đồng với hình thức lãi kép, kì hạn một năm với lãi suất 8% / năm. Tính số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận được sau 10 năm. (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền.)

Lời giải

Khoảng 215892500 đồng.

Câu 7: Một người chơi nhảy bungee trên một cây cầu với một sợi dây dài 100 m . Sau mỗi lần rơi xuống, người chơi được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 80% so với lần rơi trước và lại rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên. Tính tổng quãng đường đi lên của người đó sau 10 lần được kéo lên.

Lời giải

( ) 10

10 80 1 0,8 357,05( ) 1 0,8 S m − = ≈ − .

Câu 8: Một tháp 10 tầng có diện tích sàn của tầng dưới cùng là 2 6144 m . Tính diện tích mặt sàn tầng trên cùng, biết rằng diện tích mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt sàn tầng ngay bên dưới.

Lời giải

( )

9 9 2 10 1 1 6144 12 2 u u q m   = ⋅ = ⋅ =    

.

Câu 9: Một khay nước có nhiệt độ 20 C ° được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Cho biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm đi 25% . Tính nhiệt độ khay nước đó sau 4 giờ.

Lời giải

4 4 5 1 20 0,75 6,33 u u q C ° = ⋅ = ⋅ ≈ .