Cẩm nang lý thuyết môn Toán 12 - Vũ Văn Dự

Biên soạn: Thạc sĩ Vũ Văn Dự

1

VŨ VĂN DỰ

VŨ VĂN DỰ

1. Tính đơn điệu của hàm số

a. Khái niệm

− Giả sử hàm số y f(x) = có tập xác định là K . Ta nói

+ Hàm số y f(x) = đồng biến trên K nếu 1 2 1 2 1 2 x ; x K : x x f(x ) f(x )      .

+ Hàm số y f(x) = nghịch biến trên K nếu 1 2 1 2 1 2 x ; x K : x x f(x ) f(x )      .

+ Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K .

− Chú ý

+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)

b. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý. Cho hàm số y f(x) = có đạo hàm trên K .

− Nếu f (x) 0   với x K  thì hàm số y f(x) = đồng biến trên K .

− Nếu f (x) 0   với x K  thì hàm số y f(x) = nghịch biến trên K .

− Nếu f (x) 0  = với x K  thì hàm số y f(x) = không đổi trên K .

2. Cực trị hàm số

a. Khái niệm

− Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị.

− Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số gọi chung là cực trị.

− Điểm ( ) 0 0 M x ;f(x ) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

− Hàm số có thể đạt cực trị tại nhiều điểm trên tập xác định của nó, hoặc có thể không có cực trị trên

tập xác định đó.

b. Cách tìm cực trị của hàm số

− Nếu f (x)  đổi dấu từ + sang − khi đi qua điểm 0 x thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x .

− Nếu f (x)  đổi dấu từ − sang + khi đi qua điểm 0 x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x .

− Nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số y f(x) = thì 0 f (x ) 0  = .

c. Sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2.

+ Tính đạo hàm f (x)  của hàm số

+ Giải phương trình f (x) 0  = để tìm các điểm tới hạn (là các điểm tại đó f (x) 0  = hoặc f (x) 

không xác định)

Bước 3. Lập bảng biến thiên và xét dấu f (x)  .

Về đơn điệu

+ Nếu f (x) 0   với x (a;b)  thì hàm số y f(x) = đồng biến trên khoảng (a;b) .

+ Nếu f (x) 0   với x (c;d)  thì hàm số y f(x) = nghịch biến trên khoảng (c;d) .

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Biên soạn: Thạc sĩ Vũ Văn Dự

2

VŨ VĂN DỰ

VŨ VĂN DỰ

Về cực trị

+ Nếu f (x)  đổi dấu từ + sang − khi đi qua điểm 0 x thì f(x) đạt cực đại tại điểm 0 x

+ Nếu f (x)  đổi dấu từ − sang + khi đi qua điểm 0 x thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm 0 x

+ Nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số y f(x) = thì 0 f (x ) 0  = .

Bước 4. Kết luận.

Bảng biến thiên một số hàm cơ bản

Hàm bậc ba

3 2 y ax bx cx d = + + +

Hàm phân thức

Bậc 1/Bậc 1

(hay hàm nhất biến)

ax b y cx d + = +

Hàm phân thức

Bậc 2/Bậc 1

2 ax bx c y dx e + + = +

Lưu ý: Một số công thức đạo hàm nhanh và kiểm tra số cực trị của hàm số cơ bản

Hàm phân thức bậc 1 / bậc 1 dạng ax b y cx d + = +

 Đạo hàm 2

a b c d ad bc y cx d (cx d) − = = + +

.  Hàm số không có cực trị.

Hàm phân thức bậc 2 / bậc 1 dạng

2 ax bx c u(x) y dx e dx e + + = = + +

 Đạo hàm

2

2

2

b c ad.x 2ae.x d e ad.x 2ae.x be cd y dx e (dx e)

+ +

+ + − = = + +

.

 Về cực trị

 Hàm số có 2 cực trị  e a.u( ) 0 d −  .  Hàm số không có cực trị  e a.u( ) 0 d −  .