Chuyên đề đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp Toán 9 KNTTVCS

CHƯƠNG IX. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP.

BÀI 27. GÓC NỘI TIẾP

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Góc nội tiếp và cung bị chắn

Định nghĩa

Góc nội tiếp của đường tròn là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ 1. Trong các góc , , , A B C D ở Hình 9.3, góc nào là góc nội tiếp, góc nào không phải góc nội tiếp của đường tròn vẽ trong hình? Vì sao?

Lời giải

Các góc A và C không phải góc nội tiếp của đường tròn vì đỉnh không nằm trên đường tròn. Góc D có một cạnh không chứa dây cung của đường tròn nên cũng không là góc nội tiếp của đường tròn. Góc B có đỉnh B nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn nên là góc nội tiếp của dường tròn.

2. Định lí sau cho biết mối liên hệ giửa góc nội tiếp với cung bị chắn:

Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

GT ( ) , , A B C O ∈ .

KL   1 2 ACB sđ AB = (cung AB không chứa C ).

Chứng minh. Ta xét ba trường hợp sau (H.9.4).

Trường hợp 1: Tâm O nằm trên một cạnh của góc ACB . Giả sử O CB ∈ . Do tam giác OAC cân tại O

và có tổng các góc bằng 180° nên:      2 180 . ACB ACO CAO AOC AOB ° = + = − =

Do  AOB = sđ  AB (vì  AOB là góc ở tâm chắn cung AB ) nên    1 1 2 2 ACB AOB sd AB = = .

Trường hợp 2: Tâm O nằm bên trong góc ACB . Vẽ đường kính CD . Áp dụng Trường hợp 1 cho các

góc nội tiếp ACD và DCB với cạnh CD đi qua O , ta được:     1 1 s và s 2 2 ACD đ AD DCB đ DB = =

Suy ra       1 2 2 1 1 2 ACB ACD DCB sđ AD sđ DB sđ AB = + = + = .

Trường hợp 3: Tâm O nằm ngoài góc ACB . Vẽ đường kính CD . Áp dụng Trường hợp 1 cho các góc nội tiếp ACD và BCD với cạnh CD đi qua O , tương tự như trên ta được:

      1 2 2 1 1 2 ACB ACD BCD sđ AD sđ BD sđ AB = − = − =

Nhận xét. Từ định lí trên ta có các khẳng định sau đối với các góc nội tiếp của một đường tròn hoặc của hai đường tròn bằng nhau:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Các góc nội tiếp chắn cung nhỏ thì có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ 2. Cho đường tròn ( ) O và các điểm , , , A B C D trên ( ) O như Hình 9.5. Biết rằng  60 BAC ° = , hãy tính số đo của các góc BOC và BDC .

Lời giải

Xét đường tròn (O), ta có:

- Do hai góc nội tiếp  BDC và  BAC cùng chắn cung nhỏ BC nên   60 ; BDC BAC ° = =

- Vì góc nội tiếp  BAC và góc ở tâm  BOC cùng chắn cung nhỏ BC nên   2 120 . BOC BAC ° = =

B. CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1. TÍNH SỐ ĐO GÓC, CUNG

1. Phương pháp

Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau và ngược lại.

• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

• Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 0 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 22.