Đề thi vào 10 THCS - THPT Nguyễn Tất Thành 2020 - 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THCS & THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

NĂM HỌC: 2020 – 2021

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút

Câu I (2 điểm). Cho biểu thức 2 x 2 x 1 6x P : 1 1 4x 1 2 x 1 2 x

                              

với

1 0 x 4   .

1. Chứng minh rằng 5 x P x 1  .

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Câu II (2 điểm). Tìm m để phương trình 2 x mx 1 0    có hai nghiệm phân

biệt 1 2 x , x thỏa mãn:

2 2 1 1 2 2 x (m 1)x 5 x (m 1)x 5 1                 .

Câu III (1,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

(d): y = (m – 1)x + 4 (m là tham số) và parabol (P): 2 1 y x 2  .

1. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 2.

2. Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại các điểm có hoành độ và tung độ

đều là những số nguyên.

Câu IV (1 điểm). Nhà bạn An và bạn Bình cách trường THCS&THPT Nguyễn

Tất Thành 10 km. Hôm bế giảng, hai bạn cùng đi tới trường, vận tốc trung bình

đi đến trường của bạn An lớn hơn vận tốc trung bình đi đến trường của bạn

Bình là 3 km/h. Biết rằng nếu bạn Bình xuất phát trước bạn An đúng 10 phút

thì cả hai bạn sẽ đến trường cùng lúc. Hỏi mỗi bạn phải đi lúc mấy giờ để đến

trường đúng 7 giờ 30 phút cùng ngày?

Câu V (3 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.

1. Giả sử tam giác ABC có  BAC 60   và  ACB 45  . Vẽ đường kính BM

của đường tròn (O; R). Tính diện tích tứ giác ABCM theo R.

2. Đường phân giác trong của góc BAC cắt cạnh BC tại E và cắt đường tròn

ở điểm D khác A. Chứng minh rằng AD.AE = AB.AC và DA.DE = DB2.

3. Trên đoạn AD lấy điểm F sao cho DF = DB. Chứng minh rằng BF là tia

phân giác góc ABC.

Câu VI (0,5 điểm).

1. Giải phương trình 2 3 x 2x 4 2 x 1 0      .

2. Cho 10 ô được đánh số thứ tự từ 1 đến 10 (như hình vẽ ở dưới).

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Bạn Nguyên điền 10 số tự nhiên liên tiếp vào 10 ô đó (mỗi ô chỉ điền một

số và không nhất thiết thứ tự tăng hay giảm dần). Sau đó, trên mỗi ô, bạn

cộng số được điền trên đó với số thứ tự của ô. Chứng minh rằng trong 10

tổng bạn Nguyên nhận được có ít nhất hai tổng mà chữ số tận cùng giống

nhau.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I. Cho biểu thức 2 x 2 x 1 6x P : 1 1 4x 1 2 x 1 2 x

                              

với 1 0 x 4   .

1. Chứng minh rằng 5 x P x 1  .

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Hướng dẫn

1. Ta có:

  

  

  

  

2 x 2 x 1 6x P : 1 1 4x 1 2 x 1 2 x

2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 6x 1 4x : 1 4x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x

                                                            

2x 5 x 2 2x 5 x 2 2 2x : 1 4x 1 4x 1 4x

                      

10 x 1 4x 5 x . 1 4x 2(x 1) x 1       .

2. Ta có:

 x 0 5 x x 0 0 x 1 x 1 0

           

. Khi đó, GTNN của P là 0. Dấu “=” xảy

ra khi x = 0