Đề thi vào 10 THCS&THPT Nguyễn Tất Thành 2021 - 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

THCS & THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

NĂM HỌC: 2021 – 2022

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút

I. TRẢ LỜI NGẮN (Viết đáp số của bài toán, không trình bày lời giải)

Câu 1 (1,0 điểm). Rút gọn biểu thức:

1 x x 1 2x x A x . 1 x x x 1 x x 1

                                  

, với x 0;x 1  

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hai số a, b thỏa mãn 2a b 3

a 2b 2 2

     

.

Tính giá trị biểu thức 2 2 E a b   .

Câu 3 (1,0 điểm). Một đoàn xe dự định chở hết 45 tấn hàng (các xe chở cùng

một lượng hàng như nhau). Khi sắp khởi hành thì đoàn xe được bổ sung thêm

3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 0,5 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi lúc đầu

đoàn có bao nhiêu xe?

Câu 4 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 4 và  2 cos ABC 3  .

Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

II. TỰ LUẬN (trình bày chi tiết lời giải)

Câu 5 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường

thẳng (d): y = 2(m – 1)x – m(m + 2) (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để

đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 x , x thỏa

mãn:

    1 2 2 1 x 3 x x 3 x 10 0     

Câu 6 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC và nội tiếp đường tròn

tâm O. Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1. Chứng minh các tứ giác AEHF và BCEF là những tứ giác nội tiếp.

2. Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC; gọi K là giao điểm

khác A của đường thẳng AD với đường tròn (O).

Chứng minh DK.DA = DB.DC và DE.DF = DB.DC

3. Chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF và đường

thẳng HK đi qua trung điểm I của cạnh BC.

Câu 7 (1,0 điểm).

1. Cho hai số a và b thỏa mãn 3 3 a 2a b 2b    . Chứng minh rằng a = b.

2. Giải phương trình   3 x x 8 6 x 2x 0      .

HƯỚNG DẪN GIẢI

I. TRẢ LỜI NGẮN (Viết đáp số của bài toán, không trình bày lời giải)

Câu 1 2 3 4

Đáp án A 1 x   E = 3 15 6

II. TỰ LUẬN (trình bày chi tiết lời giải)

Câu 5 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và

đường thẳng

(d): y = 2(m – 1)x – m(m + 2) (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để

đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 x , x thỏa

mãn:

    1 2 2 1 x 3 x x 3 x 10 0     

Hướng dẫn

Phương trình hoành độ giao điểm:     2 2 m – 1 x – m m 2 x  

    2 0 2 m – 1 x x m m 2    

Xét    

2 ' 2 2 m 2m 1 m 2m 4m 1 m – 1 m m 2         

Để

' 0 4m 1 0

1 m 4

   



Theo định lí Viet, phương trình có hai nghiệm 1 2 x ;x thỏa mãn

  1 2

2 1 2

x x 2 m 1 2m 2

x .x m(m 2) m 2m

           

Ta có:     1 2 2 1 x 3 x x 3 x 10 0     

  1 2 1 2 3 x x 2x x 10 0    

    2 3 2m 2 2 m 2m 10 0     

2 m m 2 0       m 2 m 1 0   

m 2 0 m 2 (k tm)

m 1 0 m 1 (tm)

                

Vậy m = −1

Câu 6 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC và nội tiếp đường

tròn tâm O. Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1. Chứng minh các tứ giác AEHF và BCEF là những tứ giác nội tiếp.

2. Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC; gọi K là giao điểm

khác A của đường thẳng AD với đường tròn (O).

Chứng minh DK.DA = DB.DC và DE.DF = DB.DC

3. Chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF và đường

thẳng HK đi qua trung điểm I của cạnh BC.

Hướng dẫn

1. Xét tứ giác AEHF có:

  AEH AFH 90 90 180 (BE AC;CF AB)         

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCEF có   BEC CFB 90 (BE AC;CF AB)     

Hai góc này cùng nhìn cạnh BC dưới một góc bằng nhau nên tứ giác

BCEF là tứ giác nội tiếp.

2. Xét DAB  và DCK  có:  ADC chung

  DAB DCK  (cùng chắn cung KB)