Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án)

Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10

MÔN TOÁN

(Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho phương trình bậc hai 2 2 3 2 0 x mx m     , trong đó x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả các giá trịcủa m để phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 , x x và 2 2 1 2 x x  đạt giá trị

nhỏ nhất.

b) Cho tam thức bậc hai 

2 , 0 f x ax bx c a     . Chứng minh rằng nếu  0 f x  với

mọi x¡ thì 4 4 a c b   .

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình   2 3 1 2 3 x x x x     ¡

b) Giải hệ phương trình       

2 2 2 2

2

3 3 2

, 6 3 2 8

x y x xy y x y

x y x y x x

          

      

¡

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 1 abc . Chứng minh rằng

        

3 1 1 1 1 1 1 4 a b c a b b c c a         

b) Giải bất phương trình   3 3 1 2 x x x    ¡

Câu 4 (3,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC  AB AC  nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O), trọng

tâm G và , , a BC b CA c AB    . Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Chứng

minh rằng nếu bốn điểm A, O, M, G cùng nằm trên một đường tròn thì

2 2 2 2 b c a   . b) Cho tam giác ABC không vuông và , , a BC b CA c AB    . Chứng minh rằng

nếu 2 2 2 2 a b c   và tan tan 2tan A B C   thì ABC là một tam giác cân. c) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy ; cho tam giác ABC có tọa độ

tâm đường tròn ngoại tiếp, trong tâm lần lượt có tọa độ là   11 1 4;0 , ; 3 3 I G     

. Tìm

tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường

DeThi.edu.vn

Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

thẳng : 2 1 0 d x y   và điểm   4;2 M nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của

tam giác ABC.

DeThi.edu.vn

Bộ 50 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 2

PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10

MÔN TOÁN

(Thời gian: 180 phút, không tính thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình: (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)

4

x x y y x y

y x xy

         

2. Tìm tất cả các hàm số : f  ¡ ¡ thoả mãn:

( ) ( ) , f x y f x y x y     ¡ và 2 1 ( ) 0 f x f x x x       

.

Câu 2 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên tố , p q sao cho    7 4 7 4 p p q q   chia hết cho pq .

Câu 3 (2,0 điểm).

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn. Một đường thẳng  đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C). Gọi

1 2 , I I và 3I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD. Tiếp

tuyến của đường tròn 1 ( ) I song song với CD (ở vị trí gần CD hơn) cắt  tại H. Chứng

minh rằng H là trực tâm của tam giác 1 2 3. I I I

Câu 4 (2,0 điểm).

Xét các số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 3 20. a b c    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

3 9 4 2 L a b c a b c      

Câu 5 (1,0 điểm).

Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập hợp số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít nhất hai phần tử và với mọi , , m n X m n   thì tồn tại k X  sao cho

2. n mk 

DeThi.edu.vn