Đề ôn luyện học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 trong thời gian tránh dịch Covid-19 Đề số 1

ĐỀ ÔN LUYỆN THỜI KỲ TRÁNH DỊCH COVID-19 – ĐỘI HSG TOÁN 10

Câu 1: (5 điểm) Đề 1 1/ Giải phương trình:

a) 2 2 1 1 1 1 2 1 . x x x x x

b)

3 3 5 4 1 5 5 1 3

3 2. 1 3 1 5 3 1 3 5 5 1 5 3

x x x x x x

x

2/ Giải hệ phương trình:

a)

2 2 1 1 1

1

x x y y

x xy y

b)

1

3

1

1 2 1 3

x y x y y x y x y y

Câu 2: (5 điểm)

1/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2. x y x y

2/ Một người đi với vận tốc 5 / . km h Cứ sau 4km người ấy lại nghỉ, mỗi lần nghỉ tốn 10 phút, trừ lần 4.

Lần nghỉ thứ 4 tốn 1h. Hỏi người ấy đã đi được bao nhiêu km? Biết rằng người ấy khởi hành lúc 4 giờ sáng và đến đích lúc 12h trưa.

3/ Cho ABC nhọn có 0 60 , 2 3 . BAC BC cm Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm. Câu 3: (5 điểm) 1/ Cho , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện 3. a b c Tìm GTLN của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 . P a ab b b bc c c ca a

2/ Cho các số 0 ,a b thỏa mãn điều kiện 2 2 . a b a b Chứng minh rằng:

10 3 2 . 2 a b

Câu 4: (5 điểm)

1/ Cho ABC nội tiếp đường tròn . O Qua , , A B C vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt đường

tròn tại 1 1 1 , , A B C . Gọi các điểm 1 2 3 , , H H H là trực tâm các tam giác 1 1 1 , , . A BC AB C ABC Chứng minh rằng

ba điểm 1 2 3 , , H H H thẳng hàng.

2/ Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi N là trung điểm của DC và lấy điểm M trên đường chéo AC sao cho

1 . 4 AM AC Tính diện tích tam giác BMN và độ dài đoạn thẳng CI với I là giao điểm của BN và AC.

3/ Cho hình thang ABCD . AB CD Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AC và . BD Lấy trung điểm

cạnh DC là điểm . M Đường tròn AOD cắt lại đường tròn BOC tại điểm . K Chứng minh rằng

. KOC MOD HẾT./. (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu).

DeThi.edu.vn