39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án)

39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11 THPT VÀ LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn: Toán 11 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I. (4,0 điểm) 1. Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm số

8 3 cos 2 3 12

x y   với   6 ;6 x  được mô tả trong hệ trục toạ độ Oxy với đơn vị trục là

mét (trục Ox mô tả mặt nước sông) như hình minh họa dưới đây.

Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 6 mét so với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 12,6 mét. 2. Cho phương trình sin 3 cos 2 sin 1 x x m x    với m là tham số. Tìm tất cả các giá

trị của m để phương trình có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng ;2 2         

.

Câu II. (4,0 điểm) 1. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao22,5mét. Giả sử sau mỗi lần chạm đất quả bóng cao su lại nảy lên độ cao bằng 80% độ cao của lần rơi trước. Tính chiều dài quãng đường quả bóng cao su di chuyển từ khi được thả đến khi không nảy nữa.

2. Cho dãy số ( ) n u xác định bởi ( ) ( )

1

* 1

2025

2 3 , n n n

u

n u u u n +

ì = ïïíï - = + Î ïî ¥ .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số   n u và tính 2 lim n u n .

Câu III. (2,0 điểm)

Cho hàm số  f x thỏa mãn

1

( ) 1 lim 16 1 x

f x

x 

   . Tính

2

1

( ) ( ) 2 lim . 1 x

x x f x

x 

  

DeThi.edu.vn

39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Câu IV. (2,0 điểm) Ba cầu thủ đá phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là x, y và 0,6 (với x > y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn. Câu V. (6,0 điểm) 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng ( ) không đi qua S cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q sao cho SA = 2SM và SC = 3SP.

Tính

?? ?? +

?? ?? .

2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, điểm M nằm trên cạnh AC sao cho AM = kMC. Mặt phẳng  P đi qua M song song với hai đường thẳng AB’ và A’C Gọi N là giao điểm của

mặt phẳng  P và đường thẳng BC. Tìm k để

?? ?? =

5 3.

3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

2 2 2 . MA MB MC T OA OB OC   

Câu VI. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 6. 3 2 a b c   

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 9 36 a b c P a bc b ca c ab       .

------------HẾT------------

DeThi.edu.vn

39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN

Câu Sơ lược lời giải Điểm 1. Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung AB của

đồ thị hàm số 8 3 cos 2 3 12

x y   với   6 ;6 x  được mô tả trong hệ

trục toạ độ Oxy với đơn vị trục là mét (trục Ox mô tả mặt nước sông) như hình minh họa dưới đây

Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 6 mét so với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 12,6 mét.

2,0

Xét điểm   ; M x y nằm trên cung AB, khoảng cách từ điểm M đến mặt

nước tương ứng với giá trị tung độ y của điểm M.

Xét phương trình 8 3 cos 2 6 3 12

x y         

.

3 cos12 2 x   3 cos12 2 x  

Vì   6 ;6 ; 12 2 2 x x          

nên ta có 3 cos12 2 x  2 12 6 x x      hay 2 x .

Do sà lan có thể đi qua được gầm cầu nên chiều rộng khối hàng hoá là

2 4 12,56 12,6 x   .

0,5

0,5

0,5

0,5

I (4,0 điểm)

2. Cho phương trình sin 3 cos 2 sin 1 x x m x    với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 7 nghiệm khác

nhau thuộc khoảng ;2 …