Bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Chương 3 Dãy số cấp số cộng cấp số nhân phương pháp quy nạp

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

Phương pháp quy nạp toán học A. LÝ THUYẾT

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với 1 n . - Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ 1 n k   (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với 1 n k  . B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 1. Với mối số nguyên dương n , đặt 2 2 2 1 2 ... S n     . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. ( 1)( 2) 6 n n n S    . B. ( 1)(2 1) 3 n n n S    .

C. ( 1)(2 1) 6 n n n S    . D. ( 1)(2 1) 2 n n n S    .

Đáp án C.

Lời giải Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi * n¥ , ta có đẳng

thức 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 3 ... . 6 n n n n       

- Bước 1: Với 1 n  thì vế trái bằng 21 1 , vế phải bằng 1(1 1)(2.1 1) 1 6   .

Vậy đẳng thức đúng với 1 n . -Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với 1 n k  , tức là chứng minh    2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 2( 1) 1 ( 1)( 2)(2 3) 1 2 3 ... ( 1) . 6 6

k k k k k k k k                

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với 1 n k  , tức là chứng minh    2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 2( 1) 1 ( 1)( 2)(2 3) 1 2 3 ... ( 1) . 6 6

k k k k k k k k                

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1)(2 1) 1 2 3 ... ( 1) ( 1) . 6 k k k k k k            

Mà

2 2 ( 1)( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2 3) ( 1) . 6 6 6 k k k k k k k k k k k              

Suy ra 2 2 2 2 2 ( 1)( 2)(2 3) 1 2 3 ... ( 1) . 6 k k k k k          

Do đó đẳng thức đúng với 1 n k  . Suy ra có điều phải chứng minh. Vậy phương án đúng là C. Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n. + Với 1 n  thì

21 1 S   (loại được các phương án B và D); + Với 2 n  thì

2 2 1 2 5 S    (loại được phương án A). Vậy phương án đúng là C.

STUDY TIP

Ngoài kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau:

1) ( 1) 1 2 .. . 2 n n n    

DeThi.edu.vn

2)

2 2 3 3 3 ( 1) 1 2 ... . 4 n n n     

3)

2 4 4 4 ( 1)(2 1)(3 3 1) 1 2 ... . 30 n n n n n n        

4)

2 2 2 5 5 5 ( 1) (2 2 1) 1 2 ... . 12 n n n n n       

5) ( 1)( 2)( 3) 1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2) . 4 n n n n n n n         

Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây: Câu 1. Với mỗi số nguyên ,n đặt 2 2 2 1 2 ... . S n     Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A.   3 2 1 2 3 6 S n n n    . B.       3 3 1 1 1 1 6 6 S n n n n           .

C.       3 1 2 1 3 1 2 1 6 S n n n n          . D.    2 1 2 1

6

n n n S

   .

Câu 2. Với mỗi số nguyên dương ,n ta có 2 2 2 3 2 1 2 ... , n an bn cn       trong đó , , a b c là các hằng

số. Tính giá trị của biểu thức

2 2 2. M ab bc ca   

A. 25 M  . B. 25 216 M  . C. 25

6 M  . D. 23 M  .

Câu 3. Tìm tất cả các số nguyên dương ,n để

2 2 2 1 2 ... 2017 n     . A. 18 n  . B. 20 n  . C. 17 n  . D. 19 n  . Câu 4. Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương ,n thoả mãn 2 2 2 1 2 ... 2018 n     .

A. 153 S  . B. 171 S  . C. 136 S  . D. 190 S  .

Ví dụ 2. Đặt 2 2 2 ... 2 nT      (có n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. 3 nT  . B. 1 2cos 2 n n T 

  . C. 1 cos 2 n n T 

  . D. 5 nT  .

Đáp án B.

Lời giải

Ta chứng minh 1 2cos 2 n n T 

  bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

Bước 1: Với 1 n  thì vế trái bằng 2 , còn vế phải bằng 1 1 2cos 2cos 2 2 4  

  .

Vậy đẳng thức đúng với 1 n .

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với …