Bài tập Toán Lớp 11 - Chuyên đề 3 Phương trình lượng giác - Vũ Tuấn Anh

57

CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình đưa về dạng tích 1.1. Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc,… Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1) Giải

*Lưu ý: Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau

Ví dụ 2. Giải phương trình: (2)

Giải

*Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng công thức nhân 3

Ví dụ 3. Giải phương trình : (3)

Giải

1.2. Phương trình sử dụng một số biến đổi khác

    

 

1 sin6 sin sin5 sin 2 sin 4 sin3 0

7 5 3 7 3 2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos 1 0 2 2 2 2 2 2

2 7 sin 0 7 2 3 2 cos 0 ; 2 3 3 2cos 1 0 2 2 3

x x x x x x

x x x x x x x

k x x

x k x k Z

x x k



 

 

      

                        

 

         

          

3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8 x x x x   

     2 2 1 1 2 3 2 2 cos cos4 cos2 sin cos2 cos4 2 2 8 x x x x x x      

   

   

2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 cos4 cos sin cos2 cos sin cos4 cos 2 4 4 2 4cos4 2 1 cos4 2 3 2 cos4 2 16 2

x x x x x x x x

k x x x x k Z  

         

          

2 2 2cos 2 3cos4 4cos 1 4 x x x           

   2 2 3 1 cos 4 3cos4 4cos 1 sin 4 3cos4 2 2cos 1 2 x x x x x x               

1 3 sin 4 cos4 cos2 cos 4 cos2 2 2 6 x x x x x             

, 12 36 3 k x k x k           ¢

DeThi.edu.vn

58

Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó

Ví dụ 4. Giải phương trình: (4)

Giải

Cách 1:

phần còn lại dành cho bạn đọc

Cách 2:

(phần còn lại HS tự làm)

Ví dụ 5.Giải phương trình: (5) Giải

Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản (HS tự làm) 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm, điều quan trọng nhất của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm. Ngoài ra, ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan, cot. Khi đó, có thể sử dụng một số công thức

     

  

 

 

2 2

2

2

sin 1 cos 1 cos , cos 1 sin 1 sin

cos2 cos sin cos sin

1 cos2 sin 2 2cos (sin cos ) 1 sin 2 sin cos 1 cos2 sin 2 2sin (sin cos ) 1 sin 2 sin cos

sin cos 1 tan cos

2 sin

x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x

x

      

  

             

  

 sin cos 4 x x          

2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cos x x x x   

    2 4 2sin .2cos 2sin cos 1 2cos 2cos 1 2sin cos 1 0 x x x x x x x x       

1 cos 2 sin 2 1

x

x

       4 2sin cos2 (1 sin 2 ) 2(cos sin ) 0 x x x x x      

      2 2sin x cos sin cos sin cos sin 2 cos sin 0 x x x x x x x x        

   2 cos sin 2sin xcos 2sin cos sin 2 0 x x x x x x       

   2 cos sin 2sin cos 2cos cos sin 0 x x x x x x x      

cos2 3sin 2 5sin 3cos 3 x x x x    



2 5 (6sin cos 3cos ) (2sin 5sin 2) 0

3cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0

(2sin 1)(3cos sin 2) 0

x x x x x

x x x x

x x x

     

     

    

DeThi.edu.vn