Bài tập Hình học Khối 11 Quan hệ vuông góc

Ôn tập quan hệ vuông góc I. Góc:

1. Góc giữa đường thẳng và đường thẳng : Cho hai đường thẳng a, b. Góc giữa hai đường thẳng a, b ; kí hiệu là ; là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ mà a’, b’ cùng đi qua một điểm O.

Ta có và với là VTCP của a, b.

* Nếu ; ta nói : . 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho a và . Giả sử góc giữa a và là .Góc giữa a và là góc giữa a và a’ với a’ là hình chiếu của a trên . Ta có . Nếu ta nói . 3. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng : Cho và . Giả sử góc giữa và là .

là góc giữa hai đường thẳng a, b với . Ta có .

* Nếu ta nói . Để xác định góc giữa và ta làm như sau :

Giả sử ta dùng thì là góc giữa a, b.

II. Quan hệ vuông góc:

1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc : Cho hai đường thẳng a, b. Ta có các cách chứng minh : a. Góc giữa hai đường thẳng a, b là . b. với là VTCP của a, b.

.

d. Nếu a và b cắt nhau thì đưa về chứng minh trong mặt phẳng .

e. ( )

f. áp dụng định lÝ 3 đường vuông góc.

g.

2. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng : Cho a và . Ta có các cách chứng minh :



0 0;90     

   

   

0 0

0 0

u;v neu 0 u;v 90

180 u;v neu u;v 90





         

 

  u, v



0 90  a b 

 P  P   P

 P

0 0;90     

0 90   a P 

 P  Q  P  Q 

  

a P

b Q

   

0 0;90     

0 90    P Q 

 P  Q

  P Q  

    

R

R P a

R Q b

       







a b 

0 90 u.v 0  

u, v



c / /b

a c   





a P

b P

  

a AB a BC a AC      

 

a / / P

b P

 

 P  a P 

DeThi.edu.vn

a. Góc giữa a và là . b. c.

d. e. g.

3. Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng : Cho và . Ta có các cách cm : a. Góc giữa và là .

b.

III. Các dạng toán liên quan đến dùng mặt phẳng, giao tuyến, thiết diện.

1. Dùng mặt phẳng :

a. Dùng . Ta dùng b, c cắt nhau cùng vuông góc với a và .

b. . Ta chọn và dùng khi đó .

2. Xác định giao tuyến và thiết diện : a. Để xác định giao tuyến của và ta có hai cách : Cách 1 : Xác định hai điểm chung của và . Cách 2 : Xác định một điểm chung của và và xác định phương của giao tuyến trong các trường hợp sau :

* => với

* *

b. Một trường hợp cần chú ý khi tìm thiết diện hoặc giao tuyến :

*

===========================

 P 0 90



a b a c

b,ccat nhau trong P

   

  

P / / Q

a Q

 



a / /b

b P  

     

Q P

R P

R Q a

        

   

Q P ; Q P b

a Q

a b

      



 P  Q   P Q 

 P  Q 0 90

 

a Q

a P

  

 

A P

P a

   

A b

A c

    

  

P a

P Q

   

A a  

A b

b Q

  

   P a,b 

 P  Q

 P  Q

 P  Q

 

P a

Q b

a / /b

      

  P Q c  

   

c / /a hoac c / /a

c a hoac c a

   

   

P / /a

Q / /a a / /b

P Q b

       

   

P a

Q / /a a / /b

P Q b

        







a P

a b a / / P

P b

       

DeThi.edu.vn