Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 Giới hạn của hàm số

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Các giới hạn đặc biệt

1) 2) ( C: hằng số) 3) (c: hằng số, )

4) 5) ( ) 6)

Định lí về giới hạn ở hữu hạn

Định lí 1.

- Nếu và , thì:

 (với C là hằng số) 

 

 (M  0) 

  Nếu thì

- Nếu và thì và

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi  Định lí 2.

 Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp

. Nếu , và thì .

Quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích Quy tắc tìm giới hạn của thương

+ + L > 0

   

+   L < 0

  +

Dấu của

L   Tùy ý 0 + + L > 0 0    +   L < 0 0  +

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a) b) c)

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

a) ; b) ; ; c) ; ;

Bài 3: Cho hàm số: . Tính , và (nếu có)

Bài 4: Cho hàm số: . Tính , và (nếu có)

f(x) g(x)

0

0 lim

x x

x x 



0 lim

x x

C C 

 lim 0 k x

c x   * k ¥

1 lim 0 k x x   lim k

x x   * k ¥ lim k

x x 

 

   

neu k chan

neu k le

0 lim ( ) x x

f x L 



0 lim ( ) x x

g x M 



0 lim . ( ) . x x

c f x c L 



0 lim[ ( ) ( )] x x

f x g x L M 

  

0 lim[ ( ) ( )] x x

f x g x L M 

  

0 lim[ ( ). ( )] . x x

f x g x L M 



0

( ) lim ( ) x x

f x L g x M 



0 lim ( ) x x

f x L 



0

3 3 lim ( ) x x

f x L 



0 lim ( ) x x

f x 



0 x x

1 lim 0 f (x) 



 0 f x 

0 lim ( ) x x

f x L 

 0 L 

0 lim ( ) x x

f x L 



x 

0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x f x L         

 0 \ J x    f x g x h x    0 \ x J x 

0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x h x L     )

0 x x lim g(x L 



  . f x g x

0

0

lim ( ) x x x x x

f x

   

0

0

lim ( ) x x x x x

g x

   

0

0

lim ( ). ( ) x x x x x

f x g x

   

0

0

lim ( ) x x x x x

f x

   

0

0

lim ( ) x x x x x

g x

     g x

0

0

( ) lim ( ) x x x x x

f x g x    

2

3 5 lim 1 x

x x 

  4

1 lim

3 x x  

3 2

3 lim( 2 1) x x x x    

2

3 5 lim 1 x

x x  

  3

1 lim

3 x x    3

2 1 lim 3 x

x x  

  3

2 1 lim 3 x

x x  

  3

2 1 lim 3 x

x x 

  2

2 lim 2 x

x x  

  2

2 lim 2 x

x x  

  2

2 lim 2 x

x x 

 

2

3

2 3 2 ( )

4 29 2 x x khi x f x

x khi x

        2 lim ( ) x f x   2 lim ( ) x f x   0 lim ( ) x f x 

2 2 1 1 ( )

2 1 1

x khi x f x

x khi x

    

  

( 1) lim ( ) x f x   ( 1) lim ( ) x f x   1 lim ( ) x f x 

DeThi.edu.vn

Bài 5: Cho hàm số:

. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x  2.

Bài 6: Tính các giới hạn sau:

a) b) c) d)

e) f) g) Bài 7: Tính các giới hạn sau:

a) b) c) Bài 8: Tính các giới hạn sau:

a) b) c) d)

e) f)

Bài 9:Tính các giới hạn sau:

a) b) c)

d) e)

Bài 11:Tính các giới hạn sau:

a) b) c) d)

Bài 12:Tính các giới hạn sau:

a) b) c) e)

Bài 13:Tính các giới hạn sau:

a) b) c) d) Bài 14:Tính các giới hạn sau:

a) b) c)

Bài 15:Cho hai hàm số và .

1) Tính , , , .

2) Hai đường cong sau là dồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu 1), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của hàm số nào?

Bài 16:Cho hàm số : có đồ thị như hình vẽ.

1) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm số f(x) khi

, , , , và .

2 4 5 2 ( )

7 4 2

x x khi x f x

x a khi x

        

5 2 lim 3 1 x

x

x 





3 2 lim ( 2 1) x x x x     4 2 lim ( 1) x x x x    

2 2

2 3 5 7 lim 1 x

x x x x 

   

2 5 1 lim 3 4 x

x x x 

    2

3 lim 2 7 x

x x x 

  

2 lim 2 3 12 x x x   

2 2 lim 2 3 x

x x x x 

  

2 2 7 1 lim 3 7 x

x x x 

  

2

2

2 3 4 lim

4 1 1 x

x x x

x x 

  

 

2 2

2 lim 4 x

x x 





2

3

2 5 3 lim 3 x

x x x 

  

2

2 3

4 3 lim 9 x

x x x 

  

5 3

2 1

2 lim 1 x

x x x 

  

5 4

3 1

4 5 1 lim ( 1)( 2) x

x x x x x 

     1

1 lim 1

n

x

x

x 

 

9

3 lim 9 x

x x 



 0

2 4 lim

x

x x 

  2

2 1

2 1 lim

x

x x x x 

  

( 2)

8 2 2 lim

2 x

x x  

  

2

2 1

2 1 3 …