Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 Quan hệ vuông góc - Nguyễn Tiên Tiến

Hình học 11_Chương 3. Quan hệ vuông góc Page 1 of 3

Biên soạn: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

BÀI TẬP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH LOẠI 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp: Giả sử ta cần tính khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng . Ta có thể

tiến hành như sau:

Bước 1: Lấy một mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng .

Tức là mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hoặc mặt phẳng

chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .

Bước 2: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng .

Bước 3: Từ điểm M kẻ MH vuông góc với giao tuyến , với . Khi đó và do

đó đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng .

Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể dựa vào các kết quả của hình học phẳng và thường gắn liền với đường cao trong tam giác: Tam giác vuông; hệ thức lượng trong tam giác. Trên đây là phương pháp chung để giải quyết bài toán này. Ngoài ra, nếu bài toán có sự đặc biệt nào đó ta có thể tính dựa vào các kết quả dưới đây:

Tính chất 1: Đường thẳng AB cắt mặt phẳng tại điểm I khác A, B thì .

Tính chất 2: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng , M là một điểm thuộc d thì

, với mọi điểm I thuộc đường thẳng d.

Tính chất 3: Nếu mặt phẳng song song với mặt phẳng và M là một điểm thuộc mặt

phẳng thì , với mọi điểm I thuộc .

Ví dụ 1. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với . Cạnh bên SA

vuông góc với đáy và .

a) Kẻ đường cao AH của tam giác SAB. Chứng minh rằng và tính khoảng cách

từ điểm A đến mặt phẳng .

b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng .

c) Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

.

d) Kẻ đường cao AK của tam giác ABD. Chứng minh rằng và tính khoảng cách

từ B đến mặt phẳng .

Ví dụ 2. Hình chóp đều.

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên . Gọi O là tâm

của đáy.

( ) P

( ) Q ( ) P

( ) Q ( ) P

( ) P ( ) Q

V ( ) ( ) P và Q

V H Î V ( ) MH P ^

( ) P

( ) a ( ) ( ) ( ) ( )

d A, IA

IB d B,

a

= a

( ) a

( ) ( ) ( ) ( ) d M, d I, a = a

( ) a ( ) b

( ) b ( ) ( ) ( ) ( ) d M, d I, a = a ( ) b

AB a,AD b = =

SA c =

( ) AH SBC ^

( ) SBC

( ) SBC

( ) SBC

( ) BD SAK ^

( ) SAK

SA a 3 =

DeThi.edu.vn

Hình học 11_Chương 3. Quan hệ vuông góc Page 2 of 3

Biên soạn: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B

a) Chứng minh rằng .

b) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng .

c) Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ đường cao OH của tam giác SOM. Chứng minh rằng OH

vuông góc với mặt phẳng . Tính khoảng cách từ điểm O và điểm A đến mặt phẳng

.

Ví dụ 3. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, và

. Gọi O là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng và tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng .

b) Kẻ đường cao BH của tam giác OAB. Chứng minh rằng và tính khoảng cách

từ điểm B đến mặt phẳng .

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng .

Ví dụ 4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng và tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng .

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng

.

c) Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Kẻ đường cao IH của tam giác SIJ. Chứng minh rằng

và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng .

d) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng .

LOẠI 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau , ta có thể tiến

hành theo một trong các cách dưới đây: Cách 1: Dựa vào định nghĩa (xác định đường vuông góc chung).

Cách này thường được tiến hành khi ta biết được hai đường thẳng vuông góc với

nhau. Khi đó ta làm như sau:

Bước 1: Xác định một mặt phẳng chứa và vuông góc với đường thẳng .

Tức là đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ,

trong đó …