Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 Nhị thức Newton - Vũ Tuấn Anh

1

NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:

0 ( ) 

  

n n k n k k n k a b C a b

2. Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 =  k n k k n C a b ( k =0, 1, 2, …, n)

4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:   k n k n n C C

5) 0 1   n n n C C , 1

1 

   k k k n n n C C C * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: (1+x)n = 0 1 1 ...     n n n n n n C x C x C  0 1 ... 2     n n n n n C C C

(x–1)n = 0 1 1 ... ( 1)     n n n n n n n C x C x C  0 1 ... ( 1) 0     n n n n n C C C Từ khai triển này ta có các kết quả sau * 0 1 ... 2     n n n n n C C C

* 0 1 2 ... ( 1) 0      n n n n n n C C C C

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ

THỨC NEWTON Phương pháp:

      0 0

   

      

n n n n k k p q k p q k n k k np pk qk n n k k ax bx C ax bx C a b x

Số hạng chứa m x ứng với giá trị k thỏa:    np pk qk m.

Từ đó tìm    m np k p q

Vậy hệ số của số hạng chứa m x là: .  k n k k n C a b với giá trị k đã tìm được ở trên.

Nếu k không nguyên hoặc  k n thì trong khai triển không chứa m x , hệ số phải tìm bằng 0. Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa m x trong khai triển     

n p q P x a bx cx được viết dưới dạng 2 0 1 2 ...    n n a a x a x .

Ta làm như sau:

* Viết     0



      

n n k p q k n k p q n k P x a bx cx C a bx cx ;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng   

k p q bx cx thành một đa thức theo luỹ thừa

của x. * Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của m x . Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: * Tính hệ số ka theo k và n ; * Giải bất phương trình 1  k k a a với ẩn số k ; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

DeThi.edu.vn

2

Câu 1: Trong khai triển  

5 2  a b , hệ số của số hạng thứ3bằng: Hướng dẫn giải: Ta có:         5 5 4 3 0 1 2 2 5 5 5 2 2 2 2 ...      a b C a C a b C a b

Do đó hệ số của số hạng thứ3bằng 2 5 .8 80  C .

Câu 2: Trong khai triển nhị thức     6 2 ,    n a n . Có tất cả17 số hạng. Vậy n bằng: Hướng dẫn giải: Trong khai triển     6 2 ,    n a n có tất cả 7  n số hạng.

Do đó 7 17 10     n n .

Câu 3: Trong khai triển  

10 2 3  x y , hệ số của số hạng chính giữa là:

Hướng dẫn giải:

Trong khai triển  

10 2 3  x y có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 .

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là 5 5 10 3 .  C .

Câu 4: Trong khai triển  

8 2 5  x y , hệ số của số hạng chứa 5 3 . x y là:

Hướng dẫn giải: Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 8 8 8 1 8 8 ( 1) .(2 ) (5 ) ( 1) .2 5 . .      k k k k k k k k k k kT C x y C x y

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 3  k . Khi đó hệ số của số hạng chứa 5 3 . x y là: 22400  .

Câu 5: Trong khai triển

6 2        x

x

, hệ số của   3, 0  x x là:

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

1 6 2 1 6 . 2 .

  

k k k k kT C x x

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 1 6 3 3 2      k k k .

Khi đó hệ số của

3x là: 3 3 6.2 160  C .

Câu 6: Trong khai triển

7 2 1        a b , số hạng thứ 5 là:

Hướng dẫn giải: Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 14 2 1 7 . .    k k k kT C a b

Vậy số hạng thứ 5 là 4 6 4 6 4 5 7. . 35. .     T C a b a b

Câu 7: Trong khai triển  

6 2 1  a , tổng ba số hạng đầu là:

Hướng dẫn giải: Ta có:  

6 0 6 6 1 5 5 2 4 4 6 6 6 2 1 .2 .2 .2 ...      a C a C a C a

Vậy tổng 3 số hạng đầu là 6 5 4 64 192 240   a a a .

Câu 8: Trong khai triển  

16  x y , tổng hai số hạng cuối là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:   …