Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 Nhị thức Niutown

Bài toán: Ta kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, ? = ?− ? .

Cho dãy số {??} với ??=

22?+1+?2+?+2

2?+1+2 . Có bao nhiêu số hạng của dãy số{??}

thỏa mãn:

2526.2?−99

2?+1 ≤??≤

23 65.

(Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du số 1,Bắc Ninh)

Lời giải

Ta có:

?1 = 2 = 0

?2 = 4 = 0. Suy ra ?1 và ?2 không thỏa mãn đề bài.

+Xét ?≥3 ta có:

22?+1+?2+?+2

2?+1+2 =

22?+1−2+?2+?+4

2?+1+2 =

22?+1−2

2?+1+2 +

?2+?+4

2?+1+2

= 2(22?−1)

2(2?+ 1) + ?2 + ?+ 4

2?+1 + 2 = 2(2?−1)(2?+ 1)

2(2?+ 1) + ?2 + ?+ 4

2(2?+ 1)

= 2?−1 + ?2 + ?+ 4

2(2?+ 1)

Áp dụng Công thức nhị thức NiuTơn với ?≥3 ta có:

2?= (1 + 1)?= ??0 + ??1 + ??2 + ??3+. . +???= 1 + ?+ ?(?−1)

2 + ??3+. . +???

= ?2 + ?+ 2

2 + ??3+. . +???> ?2 + ?+ 2

2

Suy ra 2?+ 1 >

?2+?+2

2 + 1 =

?2+?+4

2

Suy ra 0 <

?2+?+4 2(2?+1) < 1

Mà 2?−1 là số nguyên. Do đó số nguyên lớn nhất không vượt quá 2?−1 +

?2+?+4 2(2?+1)

là 2?−1

suy ra ??=

22?+1+?2+?+2

2?+1+2 = 2?−1 +

?2+?+4 2(2?+1) −(2?−1) =

?2+?+4 2(2?+1)

suy ra ??+1 =

(?+1)2+(?+1)+4

2(2?+1+1) =

?2+3?+6 2(2.2?+1)

Xét ??−??+1 =

?2+?+4 2(2?+1) −

?2+3?+6 2(2.2?+1) =

?2+?+4 2.2?+1 − ?2+3?+6 (2?+1)

2(2?+1)(2.2?+1)

DeThi.edu.vn

= ?2 −?+ 2 2?−2?−2

2(2?+ 1)(2. 2?+ 1) =

? ?−1 + 2 2?−2?−2

2(2?+ 1)(2. 2?+ 1)

≥

? 3 −1 + 2 23 −2?−2

2(2?+ 1)(2. 2?+ 1) = 14?+ 14 2(2?+ 1)(2. 2?+ 1) > 0, ∀?≥3

Như vậy ??> ??+1 nên với ?≥3 dãy số {??} là dãy số giảm

Lại có ?6 =

23 65 suy ra ??≤

23 65 ??≤?6 =

23 65 ?≥6

Ta có:

2526.2?−99

2?+1 ≤??

2526.2?−99

2?+1 ≤

?2+?+4 2(2?+1)

2526.2?

299 ≤

?2+?+4

2

2?

?2+?+4 ≤

2100

10104

2?

?2+?+4 ≤

2100

1002+100+4 (*)

Xét ??=

2?

?2+?+4 ??+1 =

2?+1

(?+1)2+(?+1)+4 =

2.2?

?2+3?+6

??+1 −??=

2.2?

?2+3?+6 −

2?

?2+?+4 =

2?(?2−?+2) (?2+3?+6)(?2+?+4) =

2?(?(?−1)+2) (?2+3?+6)(?2+?+4) > 0 với ∀?≥3

Vậy dãy số {??} là dãy số tăng. Suy ra:

(∗) ??≤?100 ?≤100

Vậy ta có

2526.2?−99

2?+1 ≤??≤

23 65 6 ≤?≤100 ?∈ 6,7,8, . . ,100

Suy ra có 95 số hạng của dãy số{??} thỏa mãn đề bài.

DeThi.edu.vn