Tuyển tập 9 Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán học (Có đáp án)

Tuyển tập 9 Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán học (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2024-2025

Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ nhất: 25/12/2024

Câu 1 (7,0 điểm) Xét đa thức ?(?) = ?4 ― ?3 + ?. a) Chứng minh rằng với mọi số dương ?, đa thức ?(?) ― ? có duy nhất một nghiệm dương.

b) Xét dãy số (??) được xác định bởi ?1 =

1 3 và với mọi ?≥1,??+1 là nghiệm dương của đa thức ?(?) ― ??.

Chứng minh rằng dãy (??) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 2 (7,0 điểm) Với mỗi số nguyên ?≥0, đặt ??= (2 + 5)?+(2 ― 5)?. a) Chứng minh rằng ?? là số nguyên dương với mọi ?≥0. Khi ? thay đổi, số dư của ?? khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu? b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (?,?) với ?,? nhỏ hơn 500 sao cho với mọi ? lẻ ta có ??≡??― ??(mod1111).

Câu 3 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp dường tròn (O) và có trực tâm H. Đường thẳng AH cắt lại (O) tại điểm D khác A. Gọi E và F tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng AB và AC. Đường thẳng đi qua H và vuông góc với HF cắt đường thẳng BC tại điểm K.

a) Đường thẳng DK cắt lại (O) tại điểm Y khác D. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng BY và đường trung trực của đoạn thẳng BK nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OFY.

b) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với HE cắt đường thẳng BC tại điểm L. Đường thẳng DL cắt lại (O) tại điểm Z khác D. Gọi M,N và P tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng (BZ,OE),(CY,OF) và (BY,CZ). Gọi T là giao điểm của cặp đường thẳng (YZ,MN) và d là đường thẳng đi qua T và vuông góc với OA. Chứng minh rằng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AP.

DeThi.edu.vn

Tuyển tập 9 Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán học (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN

NGÀY THI THỨ NHẤT

Câu Ý Nội dung Điểm

3,00 ?

Đặt ?(?) = ?(?) ― ?. Suy ra ?′(?) = 4?3 ―3?2 +1. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

4?3 ―3?2 +1 = 2?3 +2?3 +

1 4 ―3?2 +

3 4 ≥3

3 4?6 ⋅1

4 ―3?2 +

3 4 =

3 4 > 0,∀?> 0.

Vì vậy hàm ?(?) tăng ngặt trên (0,∞). Do ?(0) = ― ?< 0 và hệ số cao nhất của ?(?) bằng 1 là số dương nên ?(?) có nghiệm duy nhất trên khoảng (0,∞).

4,00

Đặt ??(?) = ?(?) ― ??. Theo câu a) ta có ??+1 là nghiệm dương duy nhất của ??(?). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng ??< ??+1 < 1, với mọi ?≥1.

Ta có ?1 =

1 3 < 1. Giả sử ta đã chứng minh được ??< 1. Khi đó ??(??) = ?4

?― ?3

?< 0, và

??(1) = 1 ― ??> 0. Theo chứng minh trên ??(?) là hàm tăng ngặt trên (0,∞), nên từ điều kiện ??(??+1) = 0 suy ra ??< ??+1 < 1. Khẳng định được suy ra theo nguyên lý quy nạp.

?

Dãy (??) tăng và bị chặn trên bởi 1 , do đó tồn tại lim?→∞ ??. Đặt lim?→∞ ??= ?. Theo cách xây dựng dãy ta có ?4

?+1 ― ?3

?+1 + ??+1 ― ??= 0. Chuyển qua giới hạn khi ?→∞ ta nhận được ?4 ― ?3 = 0.

Rõ ràng do dãy (??) tăng ngặt nên ?> ?1 =

1 3. Suy ra ?= 1.

Kết luận: Giới hạn lim?→∞ ??= 1.

1 (7,0 điểm)

Tổng điểm câu 1 Tổng điểm câu 1 7,00

? 3,00

Ta có ?0 = 2,?1 = 4 và ta chứng minh được bằng quy nạp ??+2 = 4??+1 + ?? với mọi ?≥0. Suy ra ?? là số nguyên dương với mọi ?≥0. Lưu ý: Nếu chi chứng minh được un là số nguyên thi cho 0,5 điểm.

Xét dãy số dư của (??) khi chia cho 24 là: 2,4,18,4,10,20,18,20,2,4,… Ta thấy dãy số dư tuần hoàn chu kỳ 8. Vậy số dư có thể đạt giá trị lớn nhất là 20 .

2 (7,0 điểm)

? 4,00

DeThi.edu.vn