Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án)

Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

CâuI (2 điểm): Cho hàm số: y = x3+mx2+9x+4 (Cm) 1. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu? 2. Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)? CâuII (2 điểm): 1. Tính:

I= 

3 /

4 /

4 



xdx tg

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ; y= 4x2 ; y = 4. C©uIII (2 điểm):

1.Cho phương trình: (m+3)x2 - 3mx + 2m = 0 Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 2x1- x2= 3. 2 Xác định m để tam thức bậc hai:

f(x)= x2+(3-m)x -2m + 3 luôn luôn dương với x 4   Câu IV (2 điểm):

1. giải hệ phương trình: x + y + xy = 11

x2 + y2 + 3(x + y) = 28

2. Giải và biện luận phương trình: m x mx x    2

Câu V (2 điểm):

Cho phương trình: 2Cos2x - (2m+1)Cosx +m = 0

1. Giải phương trình với m = 2

3

2. Tìm m để phương trình có nghiệm x sao cho x       

2 3 ; 2

 

Câu VI (2 điểm):

1. CMR trong ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 2. nếu ABC là  nhọn, c/m tgA + tgB + tgC  3 3 Câu VII (2 điểm):

1. T×m: 1

2 3 lim

3

1 

 

 x

x x

x 2. Giả phương trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x Câu XIII (2 điểm):

1. giải phương trình: log2(3.2x - 1) = 2x + 1 2. Cho (H) có phương trình: x2 - 3y2 = 1 và đường thẳng : kx + 3y -1 = 0

a, Xác định k để  tiếp xúc với (H) b, Tìm tọa độ tiếp điểm. Câu IX (2 điểm):

1. Cho 3 mp (P), (Q), (R) có các phương trình lần lượt là:

(P): Ax + By + Cz + D1 = 0 (1) (Q): Bx + Cy + Az + D2 = 0 (2) (P): Cx + Ay + Bz + D3 = 0 (3)

DeThi.edu.vn

Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Với điều kiện A2 + B2 + C2 > 0 và AB + BC + CA = 0 CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc. 2. Cho tứ diện ABCD có AB  mp(BCD), BCD vuông tại C CMR 4 mặt của tứ diện là những  vuông. Câu X (2 điểm):

1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác .

CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) 2. Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau.

DeThi.edu.vn

Bộ 45 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn chấm thi

Môn: Toán- Đề số 1 (Bản hướng dẫn chấm gồm 7 trang)

C©u I:

1. y' = 3x2 + 2mx + 9 Hàm số có CĐ CT'  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt (0,5®)  ' = m2 - 27 > 0  m (-; 3 3  )  ( 3 3  ;+) (0,5®) 2. Giả sử A(x1; y1) và B(-x1; -y1) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng thuộc (Cm) (0,25®) Khi đó: y1 = 4 9 1 2 1 3 1    x mx x (1) -y1 = 4 9 1 2 1 3 1     x mx x (2) (0,25®) Lấy (1) cộng với (2) (vÕ với vÕ) ta có p/t:

0 4 2 1   mx (0,25®)  4 2 1   mx có nghiệm  m < 0 (0,25®)

C©u II:

1. Ta cã:

I = dx x x

2 3 /

4 /

2

2

cos

sin   

  

 



=  dx x

x 

 3 /

4 /

4

2 2

cos

cos 1 



(0,25®)

= dx dx x dx dx x dx     

3 /

4 /

3 /

4 /

2

3 /

4 /

4 cos 2 cos













(0,25®)

=  

3 /

4 /

3 /

4 /

3 /

4 /

2 2 ) ( 1













x tgx tgx d x tg     (0,25®)

= 12 3 2 2 3 1 3 /

4 /

3 /

4 /

3 /

4 /

3  











           x tgx x tg tgx (0,25®)

2. Giao điểm hai đường y=x2 có hoành độ là : x 2

Giao điểm y=4 với y = 4x2 có hoành độ là x= 1 Giao điểm hai đường y=x2 và y= 4x2 có hoành độ x=0 (0,5®)

Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo như hình vẽ) là :

S=2   



  



     dx x dx x x

2

1

2 1

0

2 2 4 4

DeThi.edu.vn