Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Đồng Tháp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA ĐỒNG THÁP

NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/9/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871.

Bài 1: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn 3 3 3 1, 11 x y z x y z       a) Biểu diễn zx theo y b) Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số thuộc đoạn [−2,−1]

Bài 2: Cho a,b,c là các số nguyên dƣơng, trong đó a,b nguyên tố cùng nhau và b c c a 

là số nguyên. Chứng minh rằng a là số chính phƣơng

Bài 3: Cho dãy số ( ) n n a đƣợc xác định nhƣ sau

0 1

2 1

1, 13 14 , n n n

a a a a a n N  

       

a) Chứng minh rằng 2 1 na  là số chính phƣơng với mọi số tự nhiên n b) Chứng minh rằng na luôn đƣợc viết dƣới dạng tổng bình phƣơng của 2 số tự nhiên với mọi số tự nhiên n Bài 4: Tìm tất cả hàm số lẻ : f  thỏa mãn

( ( ) ) 2 ( ( )), , f f x y x f x f y x y       . Bài 5: Cho hai đƣờng tròn 1 1 2 2 ( , ),( , ) O R O R cắt nhau tại A,B sao cho tam giác 1 2 AOO vuông tại A. Tia 1 2 O O cắt đƣờng tròn 2 ( ) O tại E,F và cắt đƣờng tròn 1 ( ) O tại D. Điểm M thay đổi trên đƣờng tròn 1 ( ) O và không thuộc đƣờng thẳng 1 2 O O . Kẻ đƣờng kính MP của 1 ( ) O .Tia 2 MO cắt đƣờng tròn 1 ( ) O tại điểm thứ 2 là NN. Tia 2 O P cắt đƣờng tròn 1 ( ) O tại điểm thứ 2 là Q. Chứng minh rằng : a) MD là phân giác của góc EMF b) MP,NQ,AB đồng quy hoặc đôi một song song c) NQ luôn đi qua 1 điểm cố định

DeThi.edu.vn

Bài 6: Có 2021 viên bi, đựng trong 100 cái hộp. Mỗi lần, cho phép lấy 2 viên bi, 2 viên bi đó thuộc vào tối đa 2 hộp và bỏ chúng vào 1 hộp khác. Chứng minh rằng sau một số bƣớc có thể bỏ tất cả các viên bi vào cùng 1 hộp.

DeThi.edu.vn