Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Nguyên

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THÁI NGUYÊN THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi 25/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Bài 1(5 điểm).Tìm tất cả hàm số  : f thỏa        2 2 3 3 ( ) ( ) , , f x y f x xy y x y x y

Bài 2(3 điểm).Cho p là số nguyên tố lẻ và là tập hợp gồm tất cả các bộ 3 số tự nhiên (a,b,c) thỏa      1 1 a b c p .Đặt

  

aSb c S abcchứng minh S chia hết cho p

Bài 3(5 điểm).Giả sử phương trình       3 2 3 ( 2) 1 0 x x x (với là tham số thực,0 )có

3 nghiệm thực 1 2 3 , , x x x .Với mỗi số nguyên dương n đặt    1 2 3 n n n nS x x x .Tìm tất cả các giá trị của

để

    

1 1 1

k

k

i k

S n S

đúng với mọi  * n .

Bài 4(5 điểm).Cho tam giác nhọn không cân ABC,AD,BE,CF là các đường cao.H,K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,D trên EF.Giả sử đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB,AC tương ứng tại M,N.

a.Chứng minh các điểm cùng thuộc 1 đường tròn gọi đường tròn này là 

B.Giả sử KM,KN lần lượt cắt CF,BE tại P,Q.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KPQ tiếp xúc với đường tròn 

Bài 5(5 điểm).Cho A,B,C là các góc của 1 tam giác chứng minh

   2 3 27 5 sin sin sin 125 A B C

DeThi.edu.vn

dạ câu hàm em làm thế này không biết đúng ko ạ thay P(x,y)->P(x+y,-y) thì suy ra f(2x+y)/f(x- y)=(2x+y)/(x-y) tới đây thì thay x->2y-1 vào thì được f(y-1)=f(1)(y-1). Ta tính được f(1)=+-1.

DeThi.edu.vn

Bài 2. (5,0 điểm)Cho n là số nguyên dương chẵn, có tổng các ước nguyên dương của nó là số lẽ.

Chứng minh rằng tổng các ước chính phương (nhỏ hơn n) của n sẽ không nhỏ hơn 4

n Bài

3. (5,0 điểm)Cho tam giác ABC, gọi 1 1 1 , , A B C lần lượt là các điểm đối xứng của A ,B, C qua BC, CA, AB . Chứng minh rằng 1 1 1 , , A B C thẳng hàng khi và chỉ

khi   3 cos .cos .cos 8 A B C

Bài 4. (5,0 điểm)Một quốc gia có 99 thành phố, khoảng cách giữa hai thành phố bất kì không vượt quá 1000 . km Hai thành phố thuộc quốc gia này được gọi là “xa nhau” nếu khoảng cách giữa chúng lớn hơn hoặc bằng 500 2 km Hỏi quốc gia này có bao nhiêu cặp thành phố xa nhau.

DeThi.edu.vn