Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo năng khiếu Quốc gia

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂNG KHIẾU QUỐC GIA THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi 25/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Bài 1. (5,0 điểm)Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn    2 2 2 3 a b c

a) Chứng minh rằng:        4 4 4 6, n n n n n n n n n a b c a b a c c b n

b) Hỏi bất đẳng thức trên còn đúng khi thay 2

3 n .

Bài 2. (5,0 điểm)Cho n là số nguyên dương chẵn, có tổng các ước nguyên dương của nó là

số lẽ. Chứng minh rằng tổng các ước chính phương (nhỏ hơn n) của n sẽ không nhỏ hơn 4

n

Bài 3. (5,0 điểm)Cho tam giác ABC, gọi 1 1 1 , , A B C lần lượt là các điểm đối xứng của A ,B, C qua BC, CA, AB . Chứng minh rằng 1 1 1 , , A B C thẳng hàng khi và chỉ

khi   3 cos .cos .cos 8 A B C

Bài 4. (5,0 điểm)Một quốc gia có 99 thành phố, khoảng cách giữa hai thành phố bất kì không vượt quá 1000 . km Hai thành phố thuộc quốc gia này được gọi là “xa nhau” nếu khoảng cách giữa chúng lớn hơn hoặc bằng 500 2 km Hỏi quốc gia này có bao nhiêu cặp thành phố xa nhau.

DeThi.edu.vn