Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ NAM THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi 22/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Bài 1. (4,0 điểm) Cho dãy số ( ) nx thỏa mãn



        

1

2 1

2033

9 9 11 8, * 2 n n n

x

x x x n

a) Chứng minh rằng dãy số ( ) nx là dãy số tăng.

b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt

   

1

1 9 10

n

n

k k u x .Tính lim nu .

Bài 2. (5,0 điểm) Cho hàm số  : * f thỏa mãn      ( ( ) ( ), , * f x f y x f y x y

a) Chứng minh rằng   ( ) , * f x x x

b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện nêu trên.

Bài 3. (6,0 điểm)Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB, AC. Tiếp tuyến tại B C, của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB.Đường thẳng qua P song song với AO cắt OM ,ON lần lượt tại K và L.

a) Gọi J là trực tâm của tam giác OKL. Chứng minh rằng đường thẳng AP đi qua trung điểm của OJ.

b) Gọi S là giao điểm thứ hai khác A của đường tròn (O) là S. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMN tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài 4. (5,0 điểm) Với X là tập hợp các số thực, kí hiệu S(X) là tổng các phần tử thuộc tập hợp X. Một tập hợp A gồm các sốnguyên dương được gọi là tập hợp “nguyên tố” nếu với mọi tập con B khác rỗng của tập hợp A thì gcd (S(A); S(B)) =1. Trong đó gcd ; a b là ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên a b, .

a) Tìm một tập hợp “nguyên tố” gồm 6 phần tử.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với mỗi n tồn tại a,bđể tập hợp

      2 2 2 ( ) ,( 2 ) ,...,( ) A a b a b a nb là tập hợp nguyên tố.

DeThi.edu.vn

Bổ đề. Cho tam giác ABC có trung điểm AC,AB là M,N. Gọi đường thẳng qua A song song BC cắt (O)

tại P. AD là đường cao tam giác ABC. PD cắt lại (O) tại S khác P. Khi đó: (SMN) tiếp xúc (O).

DeThi.edu.vn

Bài 2 ảo v :)) nếu f(y) < 0 thì chọn x= -f(y) tồn tại a>0 để f(a)=0. Cho y=a thì f(x)=x , mâu thuẫn. :))

suy ra f(y) >= 0. Suy ra f(x+f(y))= x+f(y) .

DeThi.edu.vn