Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Đồng Đậu

TRƯỜNG THPT

ĐỒNG ĐẬU

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12

NĂM HỌC: 2019 - 2020

MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút, (không kể thời gian giao đề)

I. Những lưu ý chung: - Điểm toàn bài thi không làm tròn. - Câu 3) học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm tối đa. II. Đáp án và thang điểm:

Câu Đáp án Điểm a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

đồng biến trên .

1

Ycbt 0,25

0,25

Ta có:

0,25

0,25

b) Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số

m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng .

1

Phương trình hoành độ:

0,25

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi .

Khi đó, .

0,25

Điều kiện để OA, OB tạo với nhau một góc là:

0,25

1

0,25

2

a) Giải phương trình lượng giác sau .

1

    3 2 1 1 3 2 2019 3 y mx m x m x         2;

      2 2 1 3 2 0, 2; y mx m x m x          

  

   2 2; 2 6 , 2; max 2 3 x m f x x m f x x x           

  

 

  

 

2

2 2 2 6 3 3 6 ; 0

3 6 2 3

x x x tm f x f x

x ktm x x

          

    

2 1 mx m y x

    : 2 1 d y x  

45

    

1 2 2 1 1 2 3 0, 1 3 1

2

x mx m x x x m x m x x

                

1 5 m m  

  3 1;1 , ; 4 2 m A B m        

45

 

2

2 3 2 3 . . .cos45 4 2. . 4 2 2 2 m m OAOB OAOB m m               



  2 3 7 12 0 4 m m m tm m

        

    

cos 2sin 1 3 sin 1 2sin 1

x x

x x

   

DeThi.edu.vn

ĐKXĐ: . Phương trình đã cho biến đổi thành:

0,25

0,25

0,25

Vậy nghiệm của phương trình là: 0,25

b) Giải hệ phương trình sau .

1

ĐK: . Biến đổi phương trình đầu về dạng:

0,5

Thay vào phương trình thứ hai, ta được:

. Vế trái pt là hàm đồng biến trên mà là

nghiệm nên nghiệm đó duy nhất. Suy ra: (tm)

0,25

Vậy, nghiệm của hệ là: 0,25

3

Cho hình lăng trụ đứng có , , và góc

. Gọi M là điểm trên cạnh sao cho . a) Chứng minh rằng . b) Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng .

2

sin 1

1 sin 2

x

x

   

  2 sin 2 cos 3 2sin sin 1 x x x x    

  sin 2 cos 3 sin cos2 x x x x    

sin 2 3 cos2 3sin cos sin 2 sin 3 6 x x x x x x                      

 

 

2 2 2 3 6 2 5 2 7 . 2 2 18 3 3 6

x x k x k ktm

x k tm x x k

    

    

                      

  5 2 . , 18 3 x k k     ¢

 

2 2

2 3 4 3 3 3 0 , 3 5 3 2 2

x y x y y x y x x y x

        

      

¡

2

0

3 5 0

y

x x y

       



2

2 2 2

2

1 3 4 3 1 0 3 3 3 1 3 4

y y y x y x x x y l x

             

   

2 3 y x  

3 2 3 3 2 2 x x     2 ; 3     

2 x 

2 2 31 3 3 9 y         

  2 31 ; ; 3 9 x y      

. ABC A B C  AB a  2a AC  3 6 2 a AA

· 60 BAC   CC 2 CM MC   

AM B M  

A   AB M 

DeThi.edu.vn