Đề thi thành lập học sinh giỏi dự thi Quốc gia môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề này có 01 trang)

KÌ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA

NĂM HỌC 2018 – 2019

Ngày thi: 19/10/2018

Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 2. (5 điểm)

Cho . Chứng minh rằng:

Bài 3. (5 điểm)

Cho tam giác có và nội tiếp đường tròn Phân giác trong góc

cắt tại điểm khác , lấy đối xứng qua , đường thẳng cắt

tại khác . Lấy điểm di chuyển trên cạnh ( khác ), đường thẳng

cắt tại khác Đường thẳng qua song song cắt tại . Đường tròn

ngoại tiếp tam giác cắt tại hai điểm phân biệt . Chứng minh rằng đường

trung trực đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. (5 điểm)

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử. Biết rằng hai tập tùy ý trong

các tập này đều có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả

2018 tập hợp đã cho.

------------ HẾT -------------

(Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.)

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .

  3 3 2 2 2 2 4 1. x y x y xy x xy y       

, 0; 2 x y       

  2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 . sin sin 1 sin cos 1 cos 1 2 sin sin2 sin2 sin sin2 cos x y x y x x y x y x y        

ABC AB AC  . O

·BAC  O D A E B AD BE  O

F B G AC G , A C BG

 O H . B C AH FD I

BCG EI , K L

KL

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG

LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA – Năm học 2018 – 2019

LỜI GIẢI TÓM TẮT ĐIỂM

Bài 1. (5 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên:

Nhận xét: 0,5

0,5

0,5

1,5

0,5

không thỏa 0,5 không thỏa 0,5 tìm được hoặc 0,5 Bài 2. (5 điểm)

Cho . Chứng minh rằng:

Đặt thì và 1,0

Ta cần chứng minh 0,5

Thật vậy, 1,0

Mà

1,0

Nên 1,0

  3 3 2 2 2 2 4 1. x y x y xy x xy y       

x y 

  2 2 2 4 1 x y xy    

     3 3 2 2 2 2 2 2 4 1 4 4 1 x y x y xy x xy y x y x y xy            

   2 2 2 4 1 2 4 4 1 4 xy x y x y xy x y          

2 4 3;4;5 x y x y        3 x y  

4 x y  

5 x y   1; 4 x y   4; 1 x y  

, 0; 2 x y       

  2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 . sin sin 1 sin cos 1 cos 1 2 sin sin2 sin2 sin sin2 cos x y x y x x y x y x y        

sin sin , sin cos , cos a x y b x y c x    , , 0 a b c  2 2 2 1 a b c   

  2 2 2 1 1 1 9 . 1 1 c 1 4 a b ab ac bc        

         2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 c 1 a b a b a c b c b a c a c b                    

2 a b c a b a c b c              a b a c b c a b c ab ac bc abc         

         1 8 9 9 a b c ab ac bc a b c ab ac bc a b c ab ac bc               

  2 2 2 1 1 1 9 . 1 1 c 1 4 a b ab ac bc        

DeThi.edu.vn

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0,5

Bài 3. (5 điểm)

Cho tam giác có và nội tiếp đường tròn Phân giác trong góc

cắt tại điểm khác , lấy đối xứng qua , đường thẳng

cắt tại khác . Lấy điểm di chuyển trên cạnh ( khác ),

đường thẳng cắt tại khác Đường thẳng qua song song cắt

tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại hai điểm phân biệt

. Chứng minh rằng đường trung trực đoạn thẳng luôn đi qua một điểm

cố định.

Gọi giao điểm của đường thẳng và là . 0,5 là trục đối xứng của 1,0 nên tứ giác nội tiếp 1,5

Phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường thẳng nên biến thành chính nó.

1,0

Do đó hay đường trung trực đoạn thẳng luôn đi qua điểm cố định.

1,0

Bài 4. (5 điểm)

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử. Biết rằng hai tập tùy ý trong

các tập này đều có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại phần tử

thuộc tất cả 2018 tập hợp đã cho.

Lấy tập A tùy ý, trong A sẽ có phần tử a thuộc ít nhất 45 tập hợp khác. Nếu không, số tập hợp không quá 45x44 + 1 = 1981.

1,0

Suy ra a thuộc 46 tập . 1,0

Với tập B bất kì, nếu a không thuộc B thì với mỗi tập đều có phần tử chung với B mà .

1,0

Thành ra B không có phần tử chung với A, …