Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố các môn văn hóa cấp THPT môn Toán - Bảng B - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019

ĐỀ THI MÔN:TOÁN – BẢNG B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 02/11/2018 Bài 1 (2,0 điểm) a) Cho hàm số 3 2 3 9 1 y x x x = + − + có đồ thị là ( ) C . Gọi , A B là hai điểm cực trị của ( ). C Tính

diện tích của tam giác , OAB trong đó O là gốc tọa độ.

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 2 4 6 y x m x x = + + + có cực tiểu. Bài 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình

3 2sin sin cos2 0. tan 1 x x x x − + = −

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình ( ) 3 2

2 2 2

3 1 2

x y x xy m

x x y m

 − − − =  + − = −  có nghiệm. Bài 3 (2,0 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và . B Biết , 2 ; 2 AB BC a AD a SA a = = = = và vuông góc với mặt phẳng ( ). ABCD

a) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ). SCD

b) Cho M là điểm nằm trên cạnh SA sao cho ( ) 0 2 . SM x x a = < < Mặt phẳng ( ) BCM chia khối

chóp thành hai phần có thể tích là 1V và 2 V (trong đó 1V là thể tích của phần

chứa đỉnh S ). Tìm x để 1

2

1 . 2 V V =

Bài 4 (1,0 điểm) Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô xuất phát.

Bài 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Oxy cho hình vuông

ABCD tâm E , gọi G là trọng tâm tam giác . ABE Điểm ( ) 7; 2 K − thuộc đoạn ED sao cho

. GA GK = Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh , AB biết đường thẳng AG có phương trình 3 13 0 x y − − = và đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 4.

Bài 6 (1,0 điểm) Cho dãy số { } n u xác định bởi ( )

1

2 1

3 . 1 5 , , 1 2 n n n n

u

u u u u n n +

=  = + + ∈ ≥  

Ta thành lập dãy số { } nv với 2 2 2 1 2

1 1 1 ... . n n v u u u = + + + Chứng minh rằng dãy số { } nv có giới hạn và

tính giới hạn đó. Bài 7 (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện 2 ; ; 9 9 x y x z x yz xz xy ≥ > + ≤ + .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 9 2 2 2 y x y x y z z x P y x y y z x z − + + + = + + + + + + .

……….HẾT………. (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:............................................... Số báo danh:...............................................................

Cán bộ coi thi 1:................................................Cán bộ coi thi 2:............................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

(gồm 06 trang )

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN:TOÁN – BẢNG KHÔNG CHUYÊN

Ngày thi: 02/11/2018

Bài Đáp án Điểm

Bài 1 (2.0 điểm)

a) Cho hàm số 3 2 3 9 1 y x x x = + − + có đồ thị là ( ) C . Gọi , A B là hai điểm cực trị

của ( ). C Tính diện tích của tam giác , OAB trong đó O là gốc tọa độ. 1.00

+) Tập xác định . D =  2 1 ' 3 6 9 ' 0 3 x y x x y x =  = + − ⇒ = ⇔= − 

0.25

+) (C) có hai điểm cực trị là ( ) ( ) 3;28 , 1; 4 . A B − − 0.25

+) ( ) ( ) ( ) 1 3;28 , 1; 4 3. 4 1.28 8. 2 OAB OA OB S = − = − ⇒ = − − − =   0.50

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 2 4 6 y x m x x = + + + có cực tiểu.

1.00

+) Tập xác định ; D = 

2 2 ' 2 4 6

x y m x x

+ = + + +

.

Ta có: Hàm số có đạo hàm liên tục trên  nên hàm số có cực tiểu thì phương trình

’ 0 y = phải có nghiệm.

0.25

+) Xét phương trình ( )

2 2 4 6 ' 0 , 2 2 x x y m x x − + + = ⇔ = ≠− + .

Đặt ( ) { }

2 2 4 6 , \ 2 2 x x g x x x − + + = ∈ − +  . Ta có:

( ) ( )

2 2 4 ' 0, 2 2 4 6 g x x x x x = > ∀≠− + + +

. Ngoài ra ta có

( ) ( ) lim 2; lim 2, x x g x g x →+∞ →−∞ = − = từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y g x = như

sau:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình ’ 0 y = có nghiệm khi và chỉ ( ) ( ) ; 2 2; . m∈−∞− ∪ +∞

0.25

+) Xét TH1: 2 …