Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề này có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2018 – 2019

Ngày thi: 18/10/2018

Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho và là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết và

b) Cho dãy số thỏa mãn Chứng minh

rằng

Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình

Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn có và hai đường cao cắt

nhau tại Các đường tròn cùng đi qua và theo thứ tự tiếp xúc với

tại Gọi là giao điểm thứ hai của và

a) Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh

b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.

-------------- HẾT -------------

Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . .

x y 2 0. x y  

2

2

2

2 . x xy y P x xy y     

m 3 2 3 3 y x x mx m    

  n u 1 2 u  1 2 5, n n u u   *. n ¥

  nv 1

1 , 2018 v  1 2 2 , 1 2018

n n

n v v v 

*. n ¥

* 1 , . n nv v n  ¥

  2 2

2 2 2 2 2 1

. 1 1

xy x y x y

x y y x x y x

 

   

  

ABC AB AC  , BE CF

. H   1 , O   2 O A

BC , . B C D   1 O   2 . O

AD ; BC

, EF , BC HD

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Nội dung Điểm 1 6,0 a

Ta có với

Xét hàm số với

Tính được

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của bằng , không có giá trị lớn nhất.

0,5

0,5

1,0

0,5

0,5

b

Tập xác định Yêu cầu bài toán Phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*) Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là

Ta có

Do đó

Kết hợp với điều kiện (*) ta có thỏa mãn bài toán

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,5 0,25

2 5,0 a ta có

Đặt

Khi đó

Do đó là cấp số nhân có công bội

Suy ra

Vậy

0,5

0,5 0,5

0,5

0,5

b

Chứng minh được

Khi đó (1)

Mặt khác, ta có

0,5

1,0

1,0

2

2

1, 1 t t P t t   

1 . 2 x t y  

2

2

1 ( ) 1 t t f t t t   

1 . 2 t 

2

2 2 2 2 (t) , ( 1) t f t t

   

( ) 0

1. 1 2

f t

t t

     

P 1 3

D ¡ 2 ' 3 6 3 y x x m   

 ' 0 y 

1 2 , x x     1 2 . 0. y x y x  0 y 1 0 m  

    1 1 2 2 ; , ; . A x y B x y

  1 . 2 1 3 3 x y y m x                1 1 1 2 1 y y x m x   

    2 2 2 2 1 y y x m x   

     

2 1 2 1 2 . 0 4 1 . 0 y x y x m x x    

1 2 . 0 0 0 x x m m       0 m 

*, n ¥   1 1 2 5 5 2 5 n n n n u u u u        

* 5, . n n w u n   ¥

* 1 2 , . n n w w n  ¥   n w 1 1 5 7, w u    2. q 

1 1 * 1. 7.2 , . n n n w w q n     ¥

1 * 7.2 5, . n n u n    ¥

* 0, . nv n  ¥

* 1 2 2 2 1 , . 1 2108 2 2018. 2018

n n n

n n

v v v n v v      ¥

*, n ¥

  2 3

1 2 2 2 1 2018 2 2018 0 1 2018 1 2018 1 2018

n n n n n n n n n n n

v v v v v v v v v v v 

          

DeThi.edu.vn